(h) \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^{x+1}

Passo 1

O enunciado pede \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\frac{2}{x}\Bigr)^{x+1}.
O conteúdo envolvido é cálculo de limites do tipo exponencial que levam à constante e. Vamos usar o fato de que \displaystyle \lim_{t\to\infty}\bigl(1+\tfrac{a}{t}\bigr)^{t}=e^{a}.

Passo 2

Recordando o limite fundamental: para qualquer constante a, temos
\lim_{t\to\infty}\Bigl(1+\frac{a}{t}\Bigr)^{t}=e^{a}.
Neste exercício, identificaremos uma parte da expressão que se encaixa exatamente nesse formato com a=2.

Passo 3

Reescrevemos a potência de modo a separar a parte que converge para e^2:
\Bigl(1+\frac{2}{x}\Bigr)^{x+1} =\Bigl(1+\frac{2}{x}\Bigr)^{x}\cdot\Bigl(1+\frac{2}{x}\Bigr).

Passo 4

Agora tomamos limite em cada fator:
  1. \displaystyle \lim_{x\to\infty}\bigl(1+\tfrac{2}{x}\bigr)^{x}=e^{2} por aplicação direta do limite fundamental com a=2.
  2. \displaystyle \lim_{x\to\infty}\bigl(1+\tfrac{2}{x}\bigr)=1.
    Logo, pelo produto de limites,
\lim_{x\to\infty}\Bigl(1+\frac{2}{x}\Bigr)^{x+1} =e^{2}\times 1 =e^{2}.

Resposta

\boxed{e^{2}}

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