Durante uma expansão controlada, a pressão de um gás é dada por
, onde
e o volume
está em
. Determinar o trabalho efetuado pela força do gás quando ele se expande de
até
. Dado:
Faça:
(base do logarítmo neperiano)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de física sobre o trabalho realizado por um gás durante uma expansão. O enunciado nos dá a pressão do gás em função do volume e pede para calcular o trabalho quando o volume aumenta de
para
. Para isso, vamos usar conceitos de termodinâmica, especialmente a fórmula do trabalho em processos de expansão ou compressão de gases. Precisamos entender como integrar a pressão em relação ao volume e usar as fórmulas corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a expressão da pressão que nos foi dada:
onde $ b = \frac{1}{12} , m^{-3} $ e $ V $ está em $ m^3 $. Como o trabalho envolve a integral da pressão em relação ao volume, precisamos preparar essa expressão para a integração.
Passo 3
Antes de calcular o trabalho, é importante converter a pressão de atm para Pascal (Pa), já que a unidade de trabalho no Sistema Internacional é o Joule (J), que usa Pascal e metros cúbicos. Sabemos que:
Portanto, a pressão em Pascals fica:
Passo 4
Agora, vamos escrever a expressão do trabalho $ W $. O trabalho realizado pelo gás durante a expansão é dado pela integral da pressão em relação ao volume:
Substituindo a expressão da pressão, temos:
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos integrar a função $ e^{-\frac{1}{12}V} $. A integral de $ e^{kV} $ em relação a $ V $ é $ \frac{1}{k} e^{kV} $. Aqui, $ k = -\frac{1}{12} $. Então:
Passo 6
Aplicando os limites de integração, temos:
Passo 7
Simplificando os exponentes:
Então:
O enunciado pediu para usar $ e = 3 $, então substituímos:
Passo 8
Calculando os números:
Então:
Resposta
O trabalho realizado pelo gás durante a expansão é aproximadamente
.