Durante uma expansão controlada, a pressão de um gás é dada por p=12 e^-bv(atm), onde b=112 m^-3 e o volume V está em m^3. Determinar o trabalho efetuado pela força do gás quando ele se expande de 12 m^3 até 36 m^3. Dado: 1 atm=10^5 Pa Faça: e=3 (base do logarítmo neperiano)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física sobre o trabalho realizado por um gás durante uma expansão. O enunciado nos dá a pressão do gás em função do volume e pede para calcular o trabalho quando o volume aumenta de 12 , m^3 para 36 , m^3. Para isso, vamos usar conceitos de termodinâmica, especialmente a fórmula do trabalho em processos de expansão ou compressão de gases. Precisamos entender como integrar a pressão em relação ao volume e usar as fórmulas corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a expressão da pressão que nos foi dada:
p = 12 , e^-bV , (atm)
onde $ b = \frac{1}{12} , m^{-3} $ e $ V $ está em $ m^3 $. Como o trabalho envolve a integral da pressão em relação ao volume, precisamos preparar essa expressão para a integração.

Passo 3

Antes de calcular o trabalho, é importante converter a pressão de atm para Pascal (Pa), já que a unidade de trabalho no Sistema Internacional é o Joule (J), que usa Pascal e metros cúbicos. Sabemos que:
1 , atm = 10^5 , Pa
Portanto, a pressão em Pascals fica:
p = 12 times 10^5 , e^-bV , Pa

Passo 4

Agora, vamos escrever a expressão do trabalho $ W $. O trabalho realizado pelo gás durante a expansão é dado pela integral da pressão em relação ao volume:
W
Substituindo a expressão da pressão, temos:
W = integralV1^V2 p , dV

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos integrar a função $ e^{-\frac{1}{12}V} $. A integral de $ e^{kV} $ em relação a $ V $ é $ \frac{1}{k} e^{kV} $. Aqui, $ k = -\frac{1}{12} $. Então:
e^-112V

Passo 6

Aplicando os limites de integração, temos:
W = 12 times 10^5 times [ -12 , e^-112V ]12^36
W = -144 times 10^5 times ( e^-112 times 36 - e^-112 times 12 )

Passo 7

Simplificando os exponentes:
112 times 36 = 3
112 times 12 = 1
Então:
W = -144 times 10^5 times (e^-3 - e^-1)
O enunciado pediu para usar $ e = 3 $, então substituímos:
e = 3
W = -144 times 10^5 times (3^-3 - 3^-1)
3^-3 = 127
3^-1 = 13
W = -144 times 10^5 times ( 127 - 13 )
W = -144 times 10^5 times ( 1 - 927 )
W = -144 times 10^5 times ( -827 )

Passo 8

Calculando os números:
144 times 827 = 115227 approx 42.6667
Então:
W approx 42.6667 times 10^5 , J
W approx 4.267 times 10^6 , J

Resposta

O trabalho realizado pelo gás durante a expansão é aproximadamente 4,267 times 10^6 , J.

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