Três cargas estão sobre o eixo y. As cargas -q estão em y= pm d e a carga +q está em y=0.
Determine o campo elétrico E ao longo do eixo x.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que a gente tem três cargas no eixo y: duas cargas iguais a -q em y=+d e y=-d, e uma carga +q na origem ( y=0). O que queremos é o campo elétrico vec E gerado por essas três cargas em qualquer ponto que esteja no eixo x.
Conteúdo envolvido: eletrostática, Lei de Coulomb e princípio da superposição de campos. Vamos usar a fórmula do campo de uma carga pontual e somar as três contribuições.

Passo 2

Antes de colocar a mão na massa, lembra da Lei de Coulomb para o campo elétrico de uma só carga pontual Q em um ponto P:
vec E = dfrac14pivarepsilon0;Q;dfracvec rr^3,,
onde vec r é o vetor que vai da carga até P, e r=|vec r|. E o princípio da superposição diz que, se você tem várias cargas, o campo total é a soma vetorial de cada campo individual.

Passo 3

Vamos chamar o ponto onde estamos calculando o campo de P, cujas coordenadas são (x,0). Assim, para cada carga em (0,yi), o vetor P apontando dela até vec ri = (x-0),imath ;+;(0-yi),jmath = x,imath - yi,jmath,, é
ri = raizx^2 + yi^2,
e o módulo é

Passo 4

Contribuição da carga +q na origem (0,0):
  • Aqui yi=0, então vec r1 = x,hatimath.
  • O módulo r1 = |x|.
    Aplicando Coulomb:
vec E1 = 14pivarepsilon0;q;x,hatimath|x|^3 = 14pivarepsilon0;qx^2,hatimath (aponta pra direita se x>0)

Passo 5

Contribuição da carga -q em (0,d):
  • Aqui y2=d, então vec r2 = x,hatimath - d,hatjmath.
  • Módulo r2 = raizx^2 + d^2.
    Pela Lei de Coulomb:
vec E2 = 14pivarepsilon0;(-q);x,hatimath - d,hatjmath(x^2 + d^2)^3/2 = -14pivarepsilon0;q(x^2+d^2)^3/2,(x,hatimath - d,hatjmath),

Passo 6

Contribuição da carga -q em (0,-d):
  • Agora y3=-d, logo vec r3 = x,hatimath -(-d),hatjmath = x,hatimath + d,hatjmath.
  • Mesmo módulo r3 = raizx^2 + d^2.
    Então
vec E3 = -14pivarepsilon0;q(x^2+d^2)^3/2,(x,hatimath + d,hatjmath),

Passo 7

Agora somamos vec E1 + vec E2 + vec E3:
  1. Componentes em hatjmath: E1y=0, E2y = +14pivarepsilon0;q,d(x^2+d^2)^3/2, E3y = -14pivarepsilon0;q,d(x^2+d^2)^3/2, Elas cancelam, então Ey=0.
  2. Componentes em hatimath: E1x = 14pivarepsilon0,qx^2, E2x = -14pivarepsilon0,q,x(x^2+d^2)^3/2, E3x = -14pivarepsilon0,q,x(x^2+d^2)^3/2, Somando: Ex = 14pivarepsilon0,g[qx^2 - 2,q,x(x^2+d^2)^3/2g],

Resposta

boxed vec E(x,0) = 14pivarepsilon0;q;g[1x^2 ;-;2,x(x^2+d^2)^3/2g],hatimath,

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