Durante um experimento de condicionamento físico, foram registrados os tempos (em segundos) necessários para que oito indivíduos completassem um determinado percurso.
Os valores observados foram:
49
47
64
24
59
57
51
Com base nessa amostra, determine as medidas descritivas solicitadas. Quando necessário, utilize três casas decimais para arredondamento.
A média aritmética: □ 50,125

Passo 1

O enunciado diz que houve registros dos tempos (em segundos) de oito indivíduos e fornece os seguintes valores:
49,\;47,\;64,\;24,\;59,\;57,\;51
Também aparece anotada a média aritmética sugerida: \,50{,}125\,.
Observação importante (detalhe que vou usar): o enunciado afirma haver oito observações, mas foram listados apenas sete valores. Como foi apresentada a média \,50{,}125\, para n=8, é possível deduzir o valor faltante. Vou tratar esse valor como parte dos dados e usá-lo nas contas seguintes, porque sem um oitavo valor não se consegue calcular estatísticas de uma amostra de tamanho 8. A dedução será mostrada no Passo 2.
As medidas descritivas que vou calcular e explicar são:
  • média aritmética;
  • mediana;
  • moda;
  • amplitude (range);
  • quartis Q_1 e Q_3 e intervalo interquartílico (IQR);
  • variância amostral s^2 e desvio padrão amostral s.

Passo 2

Determinar o valor faltante a partir da média dada e verificar a média.
Fórmula da média aritmética para n observações:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Aqui \bar{x}=50{,}125 (fornecido) e n=8. Seja x_8 o valor faltante. Primeiro calculo a soma dos sete valores listados:
\sum_{i=1}^{7} x_i = 49+47+64+24+59+57+51 = 351.
Da definição da média:
8\cdot\bar{x}=\sum_{i=1}^{8} x_i = \sum_{i=1}^{7} x_i + x_8.
Substituindo \bar{x}=50{,}125:
8\cdot 50{,}125 = 401 = 351 + x_8 \quad\Rightarrow\quad x_8 = 401-351=50.
Portanto deduzi que o valor faltante é 50. A amostra completa (ordenada para facilitar) é:
24,\;47,\;49,\;50,\;51,\;57,\;59,\;64.
Verificação rápida da média:
\bar{x}=\frac{351+50}{8}=\frac{401}{8}=50{,}125.

Passo 3

Cálculo da mediana.
Definição: para n observações ordenadas x_{(1)}\le\cdots\le x_{(n)},
  • se n é ímpar, a mediana é x_{(\frac{n+1}{2})};
  • se n é par, a mediana é a média entre x_{(\frac{n}{2})} e x_{(\frac{n}{2}+1)}.
Aqui n=8 (par). Então:
\text{mediana}=\frac{x_{(4)}+x_{(5)}}{2}=\frac{50+51}{2}=50{,}5.
Para manter três casas decimais quando necessário: 50{,}500.

Passo 4

Moda.
Definição: valor mais frequente na amostra. Observando os dados ordenados
24,\;47,\;49,\;50,\;51,\;57,\;59,\;64,
nenhum valor se repete. Logo a amostra é amodal (sem moda). Escreve-se: “sem moda” ou “amodal”.

Passo 5

Amplitude (range).
Definição:
\text{amplitude} = x_{(\max)}-x_{(\min)}.
Aqui x_{(\max)}=64 e x_{(\min)}=24. Então
\text{amplitude} = 64-24=40.

Passo 6

Quartis e intervalo interquartílico (IQR).
Para n par e sem incluir a mediana nas metades (método usual para dados empíricos):
  • Metade inferior: 24,47,49,50 Q_1 é a mediana dessa metade: \dfrac{47+49}{2}=48.
  • Metade superior: 51,57,59,64 Q_3 é a mediana dessa metade: \dfrac{57+59}{2}=58.
    Intervalo interquartílico:
\text{IQR}=Q_3-Q_1=58-48=10.

Passo 7

Variância e desvio padrão (explicação didática e contas).
Conceito rápido: a variância mede a dispersão dos dados em torno da média. A variância amostral (usada quando os dados formam uma amostra de uma população) é calculada por:
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2,
onde \bar{x} é a média amostral e n o tamanho da amostra. O desvio padrão amostral é
s=\sqrt{s^2}.
Vou calcular (x_i-\bar{x}) e (x_i-\bar{x})^2 para cada observação usando \bar{x}=50{,}125. Apresento os cálculos essenciais:
\begin{array}{lcl} x=24 &:& x-\bar{x}=-26{,}125,\quad (x-\bar{x})^2=682{,}515625\\[4pt] x=47 &:& x-\bar{x}=-3{,}125,\quad (x-\bar{x})^2=9{,}765625\\[4pt] x=49 &:& x-\bar{x}=-1{,}125,\quad (x-\bar{x})^2=1{,}265625\\[4pt] x=50 &:& x-\bar{x}=-0{,}125,\quad (x-\bar{x})^2=0{,}015625\\[4pt] x=51 &:& x-\bar{x}=0{,}875,\quad (x-\bar{x})^2=0{,}765625\\[4pt] x=57 &:& x-\bar{x}=6{,}875,\quad (x-\bar{x})^2=47{,}265625\\[4pt] x=59 &:& x-\bar{x}=8{,}875,\quad (x-\bar{x})^2=78{,}765625\\[4pt] x=64 &:& x-\bar{x}=13{,}875,\quad (x-\bar{x})^2=192{,}515625 \end{array}
Somando as parcelas (x_i-\bar{x})^2:
\sum_{i=1}^{8}(x_i-\bar{x})^2 = 682{,}515625 + 9{,}765625 + 1{,}265625 + 0{,}015625 + 0{,}765625 + 47{,}265625 + 78{,}765625 + 192{,}515625 = 1012{,}875.
Agora a variância amostral:
s^2=\frac{1012{,}875}{8-1}=\frac{1012{,}875}{7}=144{,}696428571\ldots
Arredondando para três casas decimais: s^2=144{,}696.
Desvio padrão amostral:
s=\sqrt{144{,}696428571\ldots}\approx 12{,}0289\ldots
Arredondando para três casas decimais: s=12{,}029.
(Comentário rápido para não assustar: usar n-1 no denominador corrige o viés da estimativa da variância quando se trabalha com amostras — é a definição padrão em estatística inferencial.)]

Resposta

Média aritmética: 50{,}125
Mediana: 50{,}500
Moda: sem moda (amodal)
Amplitude (range): 40
Primeiro quartil Q_1: 48
Terceiro quartil Q_3: 58
Intervalo interquartílico (IQR): 10
Variância amostral s^2: 144{,}696
Desvio padrão amostral s: 12{,}029

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