Durante um experimento de condicionamento físico, foram registrados os tempos (em segundos) necessários para que oito indivíduos completassem um determinado percurso.
Os valores observados foram:
49
47
64
24
59
57
51
Com base nessa amostra, determine as medidas descritivas solicitadas. Quando necessário, utilize três casas decimais para arredondamento.
A média aritmética: □ 50,125
49
47
64
24
59
57
51
A média aritmética: □ 50,125
Passo 1
O enunciado diz que houve registros dos tempos (em segundos) de oito indivíduos e fornece os seguintes valores:
Também aparece anotada a média aritmética sugerida:
.
Observação importante (detalhe que vou usar): o enunciado afirma haver oito observações, mas foram listados apenas sete valores. Como foi apresentada a média
para
, é possível deduzir o valor faltante. Vou tratar esse valor como parte dos dados e usá-lo nas contas seguintes, porque sem um oitavo valor não se consegue calcular estatísticas de uma amostra de tamanho 8. A dedução será mostrada no Passo 2.
As medidas descritivas que vou calcular e explicar são:
- média aritmética;
- mediana;
- moda;
- amplitude (range);
- quartis
e e intervalo interquartílico (IQR); - variância amostral
e desvio padrão amostral .
Passo 2
Determinar o valor faltante a partir da média dada e verificar a média.
Fórmula da média aritmética para
observações:
Aqui
(fornecido) e
. Seja
o valor faltante. Primeiro calculo a soma dos sete valores listados:
Da definição da média:
Substituindo
:
Portanto deduzi que o valor faltante é
. A amostra completa (ordenada para facilitar) é:
Verificação rápida da média:
Passo 3
Cálculo da mediana.
Definição: para
observações ordenadas
,
- se
é ímpar, a mediana é ; - se
é par, a mediana é a média entre e .
Aqui
(par). Então:
Para manter três casas decimais quando necessário:
.
Passo 4
Moda.
Definição: valor mais frequente na amostra. Observando os dados ordenados
nenhum valor se repete. Logo a amostra é amodal (sem moda). Escreve-se: “sem moda” ou “amodal”.
Passo 5
Amplitude (range).
Definição:
Aqui
e
. Então
Passo 6
Quartis e intervalo interquartílico (IQR).
Para
par e sem incluir a mediana nas metades (método usual para dados empíricos):
- Metade inferior:
→ é a mediana dessa metade: . - Metade superior:
→ é a mediana dessa metade: .
Intervalo interquartílico:
Passo 7
Variância e desvio padrão (explicação didática e contas).
Conceito rápido: a variância mede a dispersão dos dados em torno da média. A variância amostral (usada quando os dados formam uma amostra de uma população) é calculada por:
onde
é a média amostral e
o tamanho da amostra. O desvio padrão amostral é
Vou calcular
e
para cada observação usando
. Apresento os cálculos essenciais:
Somando as parcelas
:
Agora a variância amostral:
Arredondando para três casas decimais:
.
Desvio padrão amostral:
Arredondando para três casas decimais:
.
(Comentário rápido para não assustar: usar
no denominador corrige o viés da estimativa da variância quando se trabalha com amostras — é a definição padrão em estatística inferencial.)]
Resposta
Média aritmética:
Mediana:
Moda: sem moda (amodal)
Amplitude (range):
Primeiro quartil :
Terceiro quartil :
Intervalo interquartílico (IQR):
Variância amostral :
Desvio padrão amostral :
Mediana:
Moda: sem moda (amodal)
Amplitude (range):
Primeiro quartil
Terceiro quartil
Intervalo interquartílico (IQR):
Variância amostral
Desvio padrão amostral