Durante um experimento de condicionamento físico, foram registrados os tempos (em segundos) necessários para que oito indivíduos completassem um determinado percurso.
Os valores observados foram:
49
47
64
24
59
57
51
Com base nessa amostra, determine as medidas descritivas solicitadas. Quando necessário, utilize três casas decimais para arredondamento.
O desvio-padrão: □ 12,029

Passo 1

Dados fornecidos (peguei estes números do enunciado): \;49,\;47,\;64,\;24,\;59,\;57,\;51.\n
O que o enunciado pede (a informação explícita que aparece): calcular o desvio-padrão. O enunciado mostrou uma resposta possível no formato \;12,029\; (parece preencher a caixa do desvio‑padrão). Vou confirmar cálculo passo a passo e explicar a teoria necessária para entender cada conta.

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular a média aritmética (média simples) da amostra de valores. Explicação da fórmula e cada símbolo:
  • Seja n o número de observações. Aqui n=7.
  • Seja x_1,x_2,\dots,x_n as observações.
  • A média aritmética \bar{x} é dada por:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Isto significa: somar todos os valores e dividir pelo número total de valores.
Calculemos a soma:
\sum_{i=1}^{7} x_i = 49+47+64+24+59+57+51 = 351.
Portanto a média é
\bar{x}=\frac{351}{7}=50,142857\ldots
Arredondando para três casas decimais:
\bar{x}\approx50,143.

Passo 3

Agora precisamos da soma dos quadrados das observações, que usaremos para calcular variâncias. Definição:
\sum_{i=1}^{n} x_i^2
Calcule cada quadrado e some:
49^2=2401,\;47^2=2209,\;64^2=4096,\;24^2=576,\;59^2=3481,\;57^2=3249,\;51^2=2601.
Somando:
\sum_{i=1}^{7} x_i^2 = 2401+2209+4096+576+3481+3249+2601 = 18613.

Passo 4

Explicar as duas definições de variância/desvio-padrão (muito importante na prática de prova):
  • Variância populacional (quando se considera que os dados representam toda a população): \displaystyle \sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2. Em prática de cálculo a forma equivalente é
\sigma^2=\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^{n}x_i^2-\frac{(\sum_{i=1}^{n}x_i)^2}{n}\right).
  • Variância amostral (estimador da variância da população a partir da amostra, usado quando a amostra representa apenas uma parte da população): \displaystyle s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2. Forma equivalente:
s^2=\frac{1}{n-1}\left(\sum_{i=1}^{n}x_i^2-\frac{(\sum_{i=1}^{n}x_i)^2}{n}\right).
Observação didática: o divisor n produz a variância populacional; o divisor n-1 corrige o viés quando se estima a variância da população a partir de uma amostra.
No enunciado a caixa com \;12,029\; corresponde exatamente ao desvio-padrão calculado com o divisor n (ou seja, desvio-padrão populacional \sigma). Vou calcular a variância populacional primeiro.

Passo 5

Cálculo da variância populacional usando os valores que já obtivemos:
\sum_{i=1}^{n}x_i^2=18613,\qquad \left(\sum_{i=1}^{n}x_i\right)^2=351^2=123201,\qquad n=7.
Aplicando a fórmula:
\sigma^2=\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^{n}x_i^2-\frac{(\sum_{i=1}^{n}x_i)^2}{n}\right) =\frac{1}{7}\left(18613-\frac{123201}{7}\right).
Calcule o termo dentro do parêntese:
\frac{123201}{7}=17600,142857\ldots
18613-17600,142857\ldots=1012,857143\ldots
Dividindo por 7:
\sigma^2=\frac{1012,857143\ldots}{7}=144,6938776\ldots
Agora o desvio-padrão populacional é a raiz quadrada:
\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{144,6938776\ldots}\approx12,02888\ldots
Arredondando para três casas decimais:
\sigma\approx12,029.
Portanto a caixa do enunciado \;12,029\; corresponde ao desvio-padrão calculado com divisor n (populacional).

Passo 6

Para fins de prova e entendimento: muitas vezes a estatística pedida é o desvio-padrão amostral s (usar divisor n-1). Vou calcular também para que saiba a diferença e não se confunda na hora da prova.
Usando a mesma quantidade \;1012,857143\ldots (essa é a soma dos quadrados em excesso):
s^2=\frac{1012,857143\ldots}{n-1}=\frac{1012,857143\ldots}{6}=168,8095238\ldots
s=\sqrt{168,8095238\ldots}\approx12,992\ldots
Arredondando para três casas decimais:
s\approx12,992.

Passo 7

Resumo do raciocínio (como você pode reproduzir na prova, passo a passo rápido):
  1. Calcule \sum x_i e \sum x_i^2.
  2. Calcule \bar{x}=\dfrac{\sum x_i}{n}.
  3. Use a fórmula conveniente para variância: \dfrac{1}{n}\big(\sum x_i^2-(\sum x_i)^2/n\big) para variância populacional ou dividindo por n-1 para variância amostral.
  4. Tire a raiz quadrada e arredonde.

Resposta

\sigma\\ (\text{desvio-padrão populacional}) = 12,029ã

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