Durante um experimento de condicionamento físico, foram registrados os tempos (em segundos) necessários para que oito indivíduos completassem um determinado percurso.
Os valores observados foram:
49
47
64
24
59
57
51
Com base nessa amostra, determine as medidas descritivas solicitadas. Quando necessário, utilize três casas decimais para arredondamento.
A mediana: □ 50,5
49
47
64
24
59
57
51
A mediana: □ 50,5
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que falta (sem resolver ainda).
- O enunciado afirma que há
indivíduos (ou seja, ). - Os tempos observados fornecidos foram:
(repare que aqui aparecem apenas valores). - No enunciado aparece também a indicação da mediana como
(na caixinha). - Há uma inconsistência: diz que são
observações, mas só foram listadas . Para não pedir nada a mais (não posso perguntar), vou fazer uma hipótese razoável e explícita: para que a mediana de um conjunto com seja , os valores médios (4.º e 5.º ordenados) devem ser e . Como já está na lista, isso sugere que o valor faltante é . - Vou, portanto, assumir explicitamente que o oitavo valor é
e seguir a resolução com a amostra:
Passo 2
Organizar os dados em ordem crescente e contar
.
- Ordenando:
- Aqui temos
.
Explicação curta (porque isso aparece sempre nas provas): ordenar é necessário para calcular mediana e quartis corretamente — esses são posições relativas na amostra ordenada.
Passo 3
Cálculo da média amostral
.
- Fórmula e significado: a média é o valor médio da amostra e é dada por
onde são as observações e o número de observações. - Some os valores:
- Calcule a média:
- Arredondamento a três casas decimais:
.
Dica prática: em prova, some com calma e, se der para fazer divisões exatas, ótimo. Aqui
deu decimal finito.
Passo 4
Cálculo da mediana.
- Regra: se
é par, a mediana é a média entre o -ésimo e o -ésimo valores ordenados. - Como
, pegamos o 4.º e o 5.º valores ordenados: e . - Portanto
Explicação intuitiva: mediana é o ponto que deixa metade dos dados abaixo e metade acima; para número par de observações é preciso tirar a média dos dois do meio.
Passo 5
Moda.
- Definição: moda é o valor que aparece com maior frequência na amostra.
- Nosso conjunto ordenado tem todos os valores distintos (nenhum se repete).
- Conclusão: não há moda (amodal).
Passo 6
Amplitude (range).
- Definição:
. - Aqui
e . - Então
Passo 7
Quartis e intervalo interquartílico (IQR).
- Definição rápida:
é a mediana da metade inferior, é a mediana da metade superior. O IQR é . - Para
, a metade inferior são os quatro primeiros: . A mediana desses (média do 2.º e 3.º) é - A metade superior são os quatro últimos:
. A mediana desses é - Portanto
Dica: quartis ajudam a ver a dispersão sem serem tão sensíveis a outliers quanto a variância.
Passo 8
Cálculo da variância amostral
e do desvio-padrão amostral
.
- Fórmula (amostral não viciada):
onde é a média amostral e o tamanho da amostra. - Já temos
. Calcular as diferenças e os quadrados (apresento os valores obtidos): - Soma dos quadrados das diferenças:
- Variância amostral:
Arredondando a três casas decimais: . - Desvio-padrão amostral:
Ou seja (três casas decimais).
Observação didática: a diferença entre dividir por
(variância populacional) ou por
(amostral) é que dividir por
corrige o viés da estimativa quando se quer estimar a variância da população a partir de uma amostra.
Resposta
Média:
Mediana:
Moda: sem moda (amodal)
Amplitude:
Mediana:
Moda: sem moda (amodal)
Amplitude:
IQR:
Variância amostral:
Desvio-padrão amostral:
Variância amostral:
Desvio-padrão amostral: