Durante um experimento de condicionamento físico, foram registrados os tempos (em segundos) necessários para que oito indivíduos completassem um determinado percurso.
Os valores observados foram:
49
47
64
24
59
57
51
Com base nessa amostra, determine as medidas descritivas solicitadas. Quando necessário, utilize três casas decimais para arredondamento.
A mediana: □ 50,5

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que falta (sem resolver ainda).
  • O enunciado afirma que há 8 indivíduos (ou seja, n=8).
  • Os tempos observados fornecidos foram: 49,\;47,\;64,\;24,\;59,\;57,\;51(repare que aqui aparecem apenas 7 valores).
  • No enunciado aparece também a indicação da mediana como \,50,5 (na caixinha).
  • Há uma inconsistência: diz que são 8 observações, mas só foram listadas 7. Para não pedir nada a mais (não posso perguntar), vou fazer uma hipótese razoável e explícita: para que a mediana de um conjunto com n=8 seja \,50,5, os valores médios (4.º e 5.º ordenados) devem ser 50 e 51. Como 51 já está na lista, isso sugere que o valor faltante é 50.
  • Vou, portanto, assumir explicitamente que o oitavo valor é 50 e seguir a resolução com a amostra: 49,\;47,\;64,\;24,\;59,\;57,\;51,\;50.

Passo 2

Organizar os dados em ordem crescente e contar n.
  • Ordenando: 24,\;47,\;49,\;50,\;51,\;57,\;59,\;64.
  • Aqui temos n=8.
Explicação curta (porque isso aparece sempre nas provas): ordenar é necessário para calcular mediana e quartis corretamente — esses são posições relativas na amostra ordenada.

Passo 3

Cálculo da média amostral \bar{x}.
  • Fórmula e significado: a média é o valor médio da amostra e é dada por \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,onde x_i são as observações e n o número de observações.
  • Some os valores: \sum_{i=1}^{8} x_i = 24+47+49+50+51+57+59+64 = 401.
  • Calcule a média: \bar{x}=\frac{401}{8}=50,125.
  • Arredondamento a três casas decimais: \bar{x}=50,125.
Dica prática: em prova, some com calma e, se der para fazer divisões exatas, ótimo. Aqui 401/8 deu decimal finito.

Passo 4

Cálculo da mediana.
  • Regra: se n é par, a mediana é a média entre o \tfrac{n}{2}-ésimo e o \left(\tfrac{n}{2}+1\right)-ésimo valores ordenados.
  • Como n=8, pegamos o 4.º e o 5.º valores ordenados: 50 e 51.
  • Portanto \text{mediana}=\frac{50+51}{2}=50,5.
Explicação intuitiva: mediana é o ponto que deixa metade dos dados abaixo e metade acima; para número par de observações é preciso tirar a média dos dois do meio.

Passo 5

Moda.
  • Definição: moda é o valor que aparece com maior frequência na amostra.
  • Nosso conjunto ordenado tem todos os valores distintos (nenhum se repete).
  • Conclusão: não há moda (amodal).

Passo 6

Amplitude (range).
  • Definição: \text{amplitude}=x_{\max}-x_{\min}.
  • Aqui x_{\max}=64 e x_{\min}=24.
  • Então \text{amplitude}=64-24=40.

Passo 7

Quartis e intervalo interquartílico (IQR).
  • Definição rápida: Q_1 é a mediana da metade inferior, Q_3 é a mediana da metade superior. O IQR é Q_3-Q_1.
  • Para n=8, a metade inferior são os quatro primeiros: 24,47,49,50. A mediana desses (média do 2.º e 3.º) é Q_1=\frac{47+49}{2}=48.
  • A metade superior são os quatro últimos: 51,57,59,64. A mediana desses é Q_3=\frac{57+59}{2}=58.
  • Portanto \text{IQR}=Q_3-Q_1=58-48=10.
Dica: quartis ajudam a ver a dispersão sem serem tão sensíveis a outliers quanto a variância.

Passo 8

Cálculo da variância amostral s^2 e do desvio-padrão amostral s.
  • Fórmula (amostral não viciada): s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2,onde \bar{x} é a média amostral e n o tamanho da amostra.
  • Já temos \bar{x}=50,125. Calcular as diferenças e os quadrados (apresento os valores obtidos): \begin{aligned} (24-\bar{x})^2&=682,515625,\\\ (47-\bar{x})^2&=9,765625,\\\ (49-\bar{x})^2&=1,265625,\\\ (50-\bar{x})^2&=0,015625,\\\ (51-\bar{x})^2&=0,765625,\\\ (57-\bar{x})^2&=47,265625,\\\ (59-\bar{x})^2&=78,765625,\\\ (64-\bar{x})^2&=192,515625. \end{aligned}
  • Soma dos quadrados das diferenças: \sum_{i=1}^{8}(x_i-\bar{x})^2 = 1012,875.
  • Variância amostral: s^2=\frac{1012,875}{8-1}=\frac{1012,875}{7}=144,6964286\ldotsArredondando a três casas decimais: s^2=144,696.
  • Desvio-padrão amostral: s=\sqrt{s^2}=\sqrt{144,6964286\ldots}=12,029\\ \text{(arredondado)}.Ou seja s\approx12,029 (três casas decimais).
Observação didática: a diferença entre dividir por n (variância populacional) ou por n-1 (amostral) é que dividir por n-1 corrige o viés da estimativa quando se quer estimar a variância da população a partir de uma amostra.

Resposta

Média: \bar{x}=50,125
Mediana: 50,5
Moda: sem moda (amodal)
Amplitude: 40
Q_1=48
Q_3=58
IQR: 10
Variância amostral: s^2=144,696
Desvio-padrão amostral: s=12,029

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