Durante a fabricação de blocos de grafite para aplicações térmicas, ocorrem pequenas fissuras internas que não afetam a função, mas precisam ser monitoradas. A média histórica indica 4 fissuras por bloco de 2 metros.
(a) (1,0 ponto) Qual o número médio de fissuras esperado em um bloco de 5 metros?
(b) (1,0 ponto) Qual a probabilidade de ocorrerem mais de 5 fissuras em um bloco de 5 metros?
(a) (1,0 ponto) Qual o número médio de fissuras esperado em um bloco de 5 metros?
(b) (1,0 ponto) Qual a probabilidade de ocorrerem mais de 5 fissuras em um bloco de 5 metros?
Passo 1
O enunciado nos diz que fissuras ocorrem segundo um processo de Poisson, com média histórica de 4 fissuras em cada bloco de 2 m. Precisamos usar a propriedade de escala de comprimento para processos de Poisson e depois calcular (a) a média em 5 m e (b) a probabilidade de mais de 5 fissuras em 5 m.
Passo 2
Seja
o número de fissuras em um trecho de comprimento
. Para um processo de Poisson, a média é proporcional ao comprimento, isto é,
onde
cresce linearmente com
. Como em 2 m temos
, a taxa por metro é
Logo, para
m o parâmetro do Poisson é
Portanto
.
Passo 3
Para a letra (a), basta lembrar que em uma distribuição de Poisson a média é justamente o parâmetro
. Assim,
Passo 4
Para a letra (b) queremos
E
Passo 5
Vamos calcular numericamente:
Multiplicando por
dá
logo
Resposta
(a)
.
(b) .
(b)