Durante a fabricação de blocos de grafite para aplicações térmicas, ocorrem pequenas fissuras internas que não afetam a função, mas precisam ser monitoradas. A média histórica indica 4 fissuras por bloco de 2 metros.
(a) (1,0 ponto) Qual o número médio de fissuras esperado em um bloco de 5 metros?
(b) (1,0 ponto) Qual a probabilidade de ocorrerem mais de 5 fissuras em um bloco de 5 metros?

Passo 1

O enunciado nos diz que fissuras ocorrem segundo um processo de Poisson, com média histórica de 4 fissuras em cada bloco de 2 m. Precisamos usar a propriedade de escala de comprimento para processos de Poisson e depois calcular (a) a média em 5 m e (b) a probabilidade de mais de 5 fissuras em 5 m.

Passo 2

Seja XL o número de fissuras em um trecho de comprimento L. Para um processo de Poisson, a média é proporcional ao comprimento, isto é,
E[XL]=lambdaL,
onde lambdaL cresce linearmente com L. Como em 2 m temos E[X2]=4, a taxa por metro é
42=2(fissuras por metro)
Logo, para L=5 m o parâmetro do Poisson é
lambda5 = 2 times 5 = 10
Portanto X5sim Poisson(lambda=10).

Passo 3

Para a letra (a), basta lembrar que em uma distribuição de Poisson a média é justamente o parâmetro lambda. Assim,
boxedE[X5]=lambda5=10

Passo 4

Para a letra (b) queremos
P(X5>5)=1 - P(X5<= 5)
E
P(X5<=5)=sumk=0^5 e^-1010^kk!

Passo 5

Vamos calcular numericamente:
sumk=0^510^kk! =1 + 10 + 50 + tfrac10006 + tfrac1000024 + tfrac100000120 approx 1477,667
Multiplicando por e^-10approx4,539993times10^-5
P(X5<=5)approx 0,0671,
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P(X5>5)=1 - 0,0671 = 0,9329

Resposta

(a) 10.
(b) P(X5>5)=1 - sumk=0^5e^-1010^kk!approx0,9329.

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