Uma empresa produz cápsulas metálicas utilizadas em reatores químicos. Em cada inspeção, são retiradas 20 cápsulas aleatoriamente para verificar deformações. A taxa de deformações é de 15 % no processo atual.
(a) (1,0 ponto) Qual é a probabilidade de no máximo 1 cápsula apresentar deformação em uma amostra?
(b) (1,0 ponto) Calcule o desvio padrão do número de cápsulas deformadas na amostra.

Passo 1

O problema envolve uma amostra de tamanho n=20 extraída de um processo com probabilidade de deformação p=0,15. O número de cápsulas deformadas X segue uma distribuição binomial. Vamos usar fórmulas de probabilidade binomial para (a) e a fórmula do desvio padrão de uma binomial para (b).

Passo 2

Para (a) queremos
P(X <= 1) = P(X=0) + P(X=1)
Como Xsim Binomial(n,p), temos
P(X=0) = (1-p)^n,
P(X=1) = n,p,(1-p)^,n-1
Substituindo n=20 e p=0,15:
P(X=0) = (0,85)^20, P(X=1) = 20 times 0,15 times (0,85)^19

Passo 3

Calculando numericamente:
(0,85)^20 approx 0,0388, 20 times 0,15 times (0,85)^19 approx 0,1371,
logo
P(X<=1) approx 0,0388 + 0,1371 = 0,1759 approx 0,176

Passo 4

Para (b), o desvio padrão de Xsim Binomial(n,p) é
sigma = raizn,p,(1-p)
Substituindo n=20 e p=0,15:
sigma = raiz20 times 0,15 times 0,85 = raiz2,55 approx 1,597

Resposta

(a) P(X<=1)approx0,176.
(b) sigmaapprox1,597.

Exercícios relacionados