Durante a instalação de uma linha de transmissão de média tensão em uma região industrial, um fio condutor com comprimento L é estendido entre dois postes metálicos e firmemente fixado em ambas as extremidades. No momento da montagem, uma rajada de vento forte empurra o fio para cima, criando uma deformação similar a um triangulo com elevação máxima no centro do vão igual a A. Após o vento cessar, o fio é liberado com uma velocidade inicial constante \left(v_{0}\right) em toda a sua extensão.
Esse tipo de oscilação pode ocorrer em manutenção ou instalação, e o comportamento vibratório do fio precisa ser modelado com precisão para garantir que não ocorra ressonância com a frequência da rede elétrica ou fadiga por vibração contínua, o que poderia comprometer a integridade do sistema.
a) (1,0 Pontos) Construa o gráfico da posição inicial do fio considerando um fio de comprimento L=12 \mathrm{~m} e uma amplitude máxima A=0,4 \mathrm{~m} e determine a condição inicial u(0, x).
b) (1,0 Ponto) Modele a equação da onda considerando \alpha=1 e v_{0}=0,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
c) (1,0 Ponto) Aplique o método de separação de variáveis e determine as duas EDO’s de segunda ordem.
d) (1,0 Ponto) Determine a solução particular da EDO que depende de x.
e) (1,0 Ponto) Determine a solução geral da EDO que depende de t.
f) (0,5 Ponto) Escreva a solução geral da EDP u(t, x)=T(t) X(x).
g) (4,0 Pontos ) Aplique as condições iniciais para determinar a solução particular da EDP.
h) (0,5 Ponto) Escreva a solução particular da EDP.

Passo 1

O problema pede a modelagem e solução da vibração transversal de um fio de comprimento L=12,m, fixo em x=0 e x=L, que inicialmente tem forma triangular de amplitude máxima A=0{,}4,m no centro e velocidade inicial constante v_{0}=0{,}2,m/s. O conteúdo é a EDP da onda unidimensional
u_{tt} = \alpha^{2} u_{xx},
com \alpha=1, e vamos usar o método de separação de variáveis, séries de Fourier seno e as condições de contorno e iniciais.

Passo 2

(a) A configuração inicial u(0,x) é um triângulo que sobe linearmente de 0 em x=0 até A em x=L/2 e depois desce linearmente até 0 em x=L. Logo
u(0,x) = \begin{cases} \displaystyle \frac{2A}{L}\,x, & 0\le x\le \tfrac{L}{2},\\[1ex] \displaystyle \frac{2A}{L}\,(L - x), & \tfrac{L}{2}\le x\le L. \end{cases}]

Passo 3

(b) A equação da onda com \alpha=1 fica
u_{tt} = u_{xx},
sujeita a
u(t,0)=0,\quad u(t,L)=0,
e às condições iniciais
u(0,x)=f(x)\quad\text{(triângulo)},\qquad u_{t}(0,x)=v_{0}=0{,}2\text{ (constante).}â

Passo 4

(c) Supondo solução do tipo u(t,x)=T(t)\,X(x), obtemos
\frac{T''(t)}{T(t)} \;=\;\frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda,
que gera duas EDOs de segunda ordem:
X'' + \lambda\,X = 0, \qquad T'' + \lambda\,T = 0.

Passo 5

(d) A EDO espacial X''+\lambda X=0 com X(0)=X(L)=0 tem autovalores
\lambda_{n} = \Bigl(\tfrac{n\pi}{L}\Bigr)^{2},\quad n=1,2,3,\dots,
e autofunções
X_{n}(x) = \sin\!\bigl(n\pi x/L\bigr).

Passo 6

(e) Para cada \lambda_{n}, a parte temporal satisfaz
T_{n}'' + \Bigl(\tfrac{n\pi}{L}\Bigr)^{2}T_{n}=0,
cuja solução geral é
T_{n}(t)=A_{n}\cos\!\bigl(n\pi t/L\bigr) +B_{n}\sin\!\bigl(n\pi t/L\bigr).

Passo 7

(f) A solução geral da EDP é combinação linear das modais:
u(t,x) =\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[A_{n}\cos\!\bigl(n\pi t/L\bigr) +B_{n}\sin\!\bigl(n\pi t/L\bigr)\Bigr] \,\sin\!\bigl(n\pi x/L\bigr).

Passo 8

(g) Aplicando u(0,x)=f(x) e u_{t}(0,x)=v_{0}, obtemos as séries de Fourier-seno:
  1. u(0,x)=\sum A_{n}\sin(n\pi x/L)=f(x)
    A_{n} =\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\,\sin\!\bigl(n\pi x/L\bigr)\,dx =\frac{8A}{n^{2}\pi^{2}}\, \sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi}{2}\Bigr).
    Substituindo A=0{,}4 e L=12 não altera o fator \sin(n\pi/2), logo
    A_{n} =\frac{3{,}2}{n^{2}\pi^{2}}\, \sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi}{2}\Bigr).
  2. u_{t}(0,x)=\sum \tfrac{n\pi}{L}B_{n}\sin(n\pi x/L)=v_{0} expande a constante em série seno, resultando em
    B_{n} =\frac{2}{L}\,\frac{L}{n\pi} \int_{0}^{L}v_{0}\,\sin\!\bigl(n\pi x/L\bigr)\,dx =\frac{4\,v_{0}}{n\pi} \quad(\text{para \(n\) ímpar}),\quad B_{n}=0\ (\text{para \(n\) par}).í
    Com v_{0}=0{,}2 temos
    B_{n}=\frac{0{,}8}{n\pi} \quad(n\text{ ímpar}),\quad B_{n}=0\\ (n\text{ par}).í

Passo 9

(h) Assim, a solução particular completa é
u(t,x) =\sum_{n=1}^{\infty} \Biggl[ \frac{3{,}2}{n^{2}\pi^{2}}\, \sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi}{2}\Bigr)\, \cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{12}t\bigr) + \begin{cases} \displaystyle \frac{0{,}8}{n\pi}\, \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{12}t\bigr),&n\text{ ímpar},\\\\ 0,&n\text{ par}, \end{cases} \Biggr] \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{12}x\bigr).í

Resposta

u(t,x) =\sum_{n=1}^{\infty} \Biggl[ \frac{3{,}2}{n^{2}\pi^{2}}\, \sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi}{2}\Bigr)\, \cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{12}t\bigr) + \begin{cases} \displaystyle \frac{0{,}8}{n\pi}\, \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{12}t\bigr),&n\text{ ímpar},\\\\ 0,&n\text{ par}, \end{cases} \Biggr] \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{12}x\bigr).í

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