Durante a instalação de uma linha de transmissão de média tensão em uma região industrial, um fio condutor com comprimento L é estendido entre dois postes metálicos e firmemente fixado em ambas as extremidades. No momento da montagem, uma rajada de vento forte empurra o fio para cima, criando uma deformação similar a um triangulo com elevação máxima no centro do vão igual a A. Após o vento cessar, o fio é liberado com uma velocidade inicial constante \left(v_{0}\right) em toda a sua extensão.
Esse tipo de oscilação pode ocorrer em manutenção ou instalação, e o comportamento vibratório do fio precisa ser modelado com precisão para garantir que não ocorra ressonância com a frequência da rede elétrica ou fadiga por vibração contínua, o que poderia comprometer a integridade do sistema.
a) (1,0 Pontos) Construa o gráfico da posição inicial do fio considerando um fio de comprimento L=12 \mathrm{~m} e uma amplitude máxima A=0,4 \mathrm{~m} e determine a condição inicial u(0, x).
b) (1,0 Ponto) Modele a equação da onda considerando \alpha=1 e v_{0}=0,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
c) (1,0 Ponto) Aplique o método de separação de variáveis e determine as duas EDO’s de segunda ordem.
d) (1,0 Ponto) Determine a solução particular da EDO que depende de x.
e) (1,0 Ponto) Determine a solução geral da EDO que depende de t.
f) (0,5 Ponto) Escreva a solução geral da EDP u(t, x)=T(t) X(x).
g) (4,0 Pontos ) Aplique as condições iniciais para determinar a solução particular da EDP.
h) (0,5 Ponto) Escreva a solução particular da EDP.
Passo 1
O problema pede a modelagem e solução da vibração transversal de um fio de comprimento L=12,m, fixo em x=0 e x=L, que inicialmente tem forma triangular de amplitude máxima A=0{,}4,m no centro e velocidade inicial constante v_{0}=0{,}2,m/s. O conteúdo é a EDP da onda unidimensional
u_{tt} = \alpha^{2} u_{xx},
com \alpha=1, e vamos usar o método de separação de variáveis, séries de Fourier seno e as condições de contorno e iniciais.
Passo 2
(a) A configuração inicial u(0,x) é um triângulo que sobe linearmente de 0 em x=0 até A em x=L/2 e depois desce linearmente até 0 em x=L. Logo