Encontre todos os pontos e calcule os valores máximos locais, mínimos locais e pontos de sela das funções.
f(x, y)=9 x^{3}+\frac{1}{3} y^{3}-4 x y

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os pontos críticos de
f(x,y) = 9x^{3} + \frac{1}{3}y^{3} - 4xy
e classificar cada um como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Para isso vamos precisar calcular as derivadas parciais, resolver o sistema \nabla f=0 e usar o Hessiano para classificação.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x} = 27x^{2} - 4y, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = y^{2} - 4x.
Para pontos críticos, impomos
27x^{2} - 4y = 0, \qquad y^{2} - 4x = 0.

Passo 3

Da primeira equação segue y = \frac{27}{4}x^{2}. Substituindo na segunda:
\Bigl(\frac{27}{4}x^{2}\Bigr)^{2} - 4x = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{729}{16}x^{4} = 4x.
Para x\neq 0 dividimos por x e obtemos
\frac{729}{16}x^{3} = 4 \quad\Longrightarrow\quad x^{3} = \frac{64}{729} \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{4}{9}.
Logo
y = \frac{27}{4}\Bigl(\frac{4}{9}\Bigr)^{2} = \frac{4}{3}.
Assim há um único ponto crítico: \Bigl(\tfrac{4}{9},\tfrac{4}{3}\Bigr).

Passo 4

Agora calculamos as segundas derivadas e o discriminante do Hessiano em \bigl(\tfrac{4}{9},\tfrac{4}{3}\bigr):
f_{xx} = 54x,\quad f_{yy} = 2y,\quad f_{xy} = -4.
Em \bigl(\tfrac{4}{9},\tfrac{4}{3}\bigr) temos
f_{xx} = 54\cdot\frac{4}{9} = 24, \quad f_{yy} = 2\cdot\frac{4}{3} = \frac{8}{3}, \quad f_{xy} = -4.
O discriminante do Hessiano é
D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^{2} = 24\cdot\frac{8}{3} - 16 = 64 - 16 = 48 > 0.
Como D>0 e f_{xx}=24>0, concluímos que é um mínimo local.

Passo 5

Falta apenas calcular o valor de f nesse ponto:
f\Bigl(\tfrac{4}{9},\tfrac{4}{3}\Bigr) = 9\Bigl(\tfrac{4}{9}\Bigr)^{3} + \frac{1}{3}\Bigl(\tfrac{4}{3}\Bigr)^{3} -4\cdot\tfrac{4}{9}\cdot\tfrac{4}{3} = \frac{64}{81}+\frac{64}{81}-\frac{64}{27} = -\frac{64}{81}.

Resposta

Há um único ponto crítico
\bigl(\tfrac{4}{9},\tfrac{4}{3}\bigr), que é um mínimo local com valor
f\bigl(\tfrac{4}{9},\tfrac{4}{3}\bigr) = -\frac{64}{81}.
Não existem máximos locais nem pontos de sela.

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