Encontre todos os pontos e calcule os valores máximos locais, mínimos locais e pontos de sela das funções.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todos os pontos críticos de
e classificar cada um como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Para isso vamos precisar calcular as derivadas parciais, resolver o sistema
e usar o Hessiano para classificação.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
:
Para pontos críticos, impomos
Passo 3
Da primeira equação segue
. Substituindo na segunda:
Para
dividimos por
e obtemos
Logo
Assim há um único ponto crítico:
.
Passo 4
Agora calculamos as segundas derivadas e o discriminante do Hessiano em
:
Em
temos
O discriminante do Hessiano é
Como
e
, concluímos que é um mínimo local.
Passo 5
Falta apenas calcular o valor de
nesse ponto:
Resposta
Há um único ponto crítico
, que é um mínimo local com valor
Não existem máximos locais nem pontos de sela.