Durante a madrugada, um carro de luxo, de massa total igual a 2400 kg , bate na traseira de um carro de massa total 1200 kg , que estava parado no sinal vermelho. O motorista do carro de luxo alega que o outro estava com as luzes apagadas, e que ele vinha reduzindo a marcha ao aproximar-se do sinal, estando a menos de 10 \mathrm{~km} / \mathrm{h} quando o acidente ocorreu. A perícia constata que o carro de luxo arrastou o outro a uma distância igual a 10,5 \mathrm{~m}, e estima o coeficiente de atrito cinético com a estrada no local do acidente em 0,6 . Calcule a que velocidade o carro de luxo vinha realmente. (Resp. 60 \mathrm{~km} / \mathrm{h} )

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo claramente):
  • Massa do carro de luxo (colididor): m_1 = 2400\\ \mathrm{kg}.
  • Massa do carro parado: m_2 = 1200\\ \mathrm{kg}.
  • O carro parado estava em repouso antes da colisão, ou seja sua velocidade inicial é 0.
  • Distância total em que os dois carros unidos foram arrastados após a colisão: d = 10{,}5\\ \mathrm{m}.
  • Coeficiente de atrito cinético entre os pneus e a estrada: \mu_k = 0{,}6.
  • A pergunta: calcular a que velocidade o carro de luxo vinha realmente (ou seja a velocidade inicial do carro de luxo, antes da colisão).
Informações relevantes a usar (extraídas do enunciado): m_1, m_2, d, \mu_k, e que o segundo carro estava parado.

Passo 2

Qual será o método físico e por quê (aula curta sobre o raciocínio físico)?
  • Durante a colisão, o tempo de impacto é muito curto e as forças externas horizontais (como atrito) atuam por um intervalo muito maior; portanto, na aproximação usual de problemas assim, podemos considerar que o momento linear (quantidade de movimento) do sistema carro de luxo + carro parado é conservado durante o choque instantâneo. Em fórmulas: o impulso externo horizontal durante o choque é desprezível, logo
m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} = (m_1+m_2)\,v_f,
onde v_{1i} é a velocidade inicial do carro de luxo (o que queremos), v_{2i}=0 (o outro carro parado), e v_f é a velocidade comum imediatamente após a colisão.
  • Depois da colisão os dois carros ficam presos (ou deslocam-se juntos) e são retardados pelo atrito cinético até parar após terem sido arrastados a distância d. A energia cinética que os dois tinham imediatamente após a colisão é dissipada pelo trabalho da força de atrito. Aplicamos o Teorema do Trabalho e Energia: o trabalho da força de atrito é igual à variação da energia cinética:
-\!F_{\text{atrito}}\,d = \tfrac{1}{2}(m_1+m_2)\,v_f^{2} - 0.
  • A força de atrito cinético vale \;F_{\text{atrito}}=\mu_k N, com N a força normal. Em estrada horizontal N=(m_1+m_2)g. Assim F_{\text{atrito}}=\mu_k (m_1+m_2) g.
  • Observação importante (muito útil): ao substituir F_{\text{atrito}} na equação do trabalho, a massa combinada (m_1+m_2) cancela, permitindo calcular v_f sem conhecer as massas individuais. Depois usamos conservação do momento para voltar a v_{1i}.

Passo 3

Calcular a velocidade comum logo após a colisão v_f usando o trabalho do atrito (aqui ensino passo a passo):
  • Escrevendo o trabalho do atrito igual à perda da energia cinética:
-\mu_k (m_1+m_2) g \, d = -\tfrac{1}{2}(m_1+m_2)\,v_f^{2}.
  • Cancelando o fator comum (m_1+m_2) (explico: aparece em ambos os lados multiplicando; como é positivo e não nulo, podemos dividir ambos os lados por ele), obtemos
\mu_k g d = \tfrac{1}{2} v_f^{2}.
  • Isolando v_f,
v_f = \sqrt{2 \mu_k g d}.
  • Substituindo os valores numéricos (uso g = 9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}):
v_f = \sqrt{2 \cdot 0{,}6 \cdot 9{,}8 \cdot 10{,}5}.
  • Faço a conta passo a passo:
2\cdot 0{,}6 = 1{,}2,
1{,}2 \cdot 9{,}8 = 11{,}76,
11{,}76 \cdot 10{,}5 = 123{,}48,
v_f = \sqrt{123{,}48}\approx 11{,}11\\ \mathrm{m/s}.
  • Para interpretação prática, converto para \mathrm{km/h} usando 1\\ \mathrm{m/s}=3{,}6\\ \mathrm{km/h}:
v_f \approx 11{,}11 \times 3{,}6 \approx 40{,}0\\ \mathrm{km/h}.
Logo, imediatamente após a colisão os dois veículos moviam-se juntos a cerca de 11{,}11\\ \mathrm{m/s} (ou 40{,}0\\ \mathrm{km/h}).

Passo 4

Usar conservação do momento para encontrar a velocidade inicial do carro de luxo v_{1i}:
  • A equação de conservação do momento (no instante logo antes / logo após a colisão) é
m_1 v_{1i} + m_2 \cdot 0 = (m_1+m_2)\,v_f.
  • Isolando v_{1i},
v_{1i} = \frac{m_1+m_2}{m_1}\,v_f = \left(1+\frac{m_2}{m_1}\right)v_f.
  • Substituindo m_1=2400\\ \mathrm{kg} e m_2=1200\\ \mathrm{kg}:
\frac{m_1+m_2}{m_1}=\frac{2400+1200}{2400}=\frac{3600}{2400}=1{,}5.
  • Portanto
v_{1i} = 1{,}5 \cdot v_f = 1{,}5 \cdot 11{,}11\\ \mathrm{m/s}\approx 16{,}67\\ \mathrm{m/s}.
  • Converter para \mathrm{km/h}:
v_{1i} \approx 16{,}67 \times 3{,}6 = 60{,}0\\ \mathrm{km/h}.

Passo 5

Interpretação final e comentário (motivacional):
  • O cálculo mostra que o carro de luxo vinha a 60{,}0\\ \mathrm{km/h} imediatamente antes do choque, muito maior que a alegação do motorista de que vinha a menos de 10\\ \mathrm{km/h}.
  • Relembre a lógica: primeiro achamos a velocidade comum após a colisão pela energia dissipada pelo atrito ao arrastar os veículos; depois, usando conservação do momento, recuperamos a velocidade inicial do carro que bateu. Esse é um método padrão em perícias de colisão.

Resposta

60{,}0\\ \mathrm{km/h}

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