Um rojão, lançado segundo um ânguo de 45^{\circ}, explode em dois fragmentos ao atingir sua altura máxima, de 25 m; os fragmentos são lançados horizontalmente. Um deles, de massa igual a 100 kg , cai no mesmo plano vertical da trajetória inicial, a 90 m de distância do ponto de lançamento. O outro fragmento tem massa igual a 50 g. a) A que distância do ponto de lançamento cai o fragmento mais leve? b)Quais são as velocidades comunicadas aos dois fragmentos em consequência da explosão? Qual é a energia mecânica liberada pela explosão? (Resp. a) 120 m; b)8, 86 m e-4,43 m / s na horizontal; c) 2,94 J )

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados (vou escrever as massas em quilogramas para calcular):
  • Ângulo de lançamento: \,45^\circ.
  • Altura máxima atingida: \,H=25\\ \text{m}.
  • No ponto de altura máxima ocorre uma explosão: os fragmentos são lançados horizontalmente.
  • Um fragmento (o “pesado”) tem massa \,m_1=100\\ \text{g}=0{,}10\\ \text{kg} e cai a x_1=90\\ \text{m} do ponto de lançamento.
  • O outro fragmento (o “leve”) tem massa \,m_2=50\\ \text{g}=0{,}05\\ \text{kg}.
    O enunciado pede:
    (a) a que distância do ponto de lançamento cai o fragmento mais leve;
    (b) quais são as velocidades comunicadas aos dois fragmentos pela explosão (na direção horizontal) e qual a energia mecânica liberada pela explosão.

Passo 2

Primeiro, calcular a velocidade inicial do rojão e, em particular, a componente horizontal da velocidade no instante do pico. Para um projétil lançado com velocidade inicial v_0 e componente vertical v_{0y}=v_0\sin45^\circ, a altura máxima é dada por
H=\frac{v_{0y}^2}{2g}.
Aqui g é a aceleração da gravidade; usaremos g=9{,}8\\ \text{m/s}^2. Como \sin45^\circ=\tfrac{1}{\sqrt{2}}, temos v_{0y}^2=v_0^2\cdot\dfrac{1}{2}. Substituindo,
H=\frac{v_0^2}{4g}\quad\Rightarrow\quad v_0^2=4gH.
Substituindo H=25\\ \text{m}:
v_0^2=4\cdot 9{,}8\cdot 25=490,
portanto
v_0= \sqrt{490}\approx 31{,}304\\ \text{m/s}.

Passo 3

A componente horizontal da velocidade (constante enquanto não explode) é
v_{0x}=v_0\cos45^\circ=\frac{v_0}{\sqrt{2}}.
Mas de forma mais direta, usando v_0^2=4gH,
v_{0x}=\sqrt{2gH}=\sqrt{490}\,/ \sqrt{2}=\sqrt{245}=\sqrt{2gH}\approx 22{,}13594362\\ \text{m/s}.
Para facilitar arredondamentos posteriores, usaremos v_{0x}=\sqrt{490/2}=\sqrt{245}\approx 22{,}136\\ \text{m/s}.

Passo 4

Posição horizontal do rojão no instante da explosão (altura máxima).
Para um lançamento em 45^\circ a altura máxima ocorre no meio do tempo de voo, logo horizontalmente fica no meio do alcance total. O alcance total do projétil, sem explosão, é
R=\frac{v_0^2\sin(2\cdot 45^\circ)}{g}=\frac{v_0^2}{g}=\frac{4gH}{g}=4H.
Como H=25\\ \text{m},
R=4\cdot 25=100\\ \text{m}.
Portanto a explosão, ocorrendo no vértice, acontece em
x_{\text{top}}=\frac{R}{2}=50\\ \text{m}.

Passo 5

Tempo de queda desde a altura H até o solo (queda livre a partir do repouso vertical)
t=\sqrt{\frac{2H}{g}}=\sqrt{\frac{50}{9{,}8}}.
Note que \displaystyle \frac{1}{t^2}=\frac{g}{2H}=\frac{9{,}8}{50}=0{,}196 (isso vai simplificar contas). Numericamente,
t\approx 2{,}258178106\\ \text{s}.

Passo 6

Velocidades horizontais finais dos fragmentos (após a explosão), obtidas pela relação deslocamento x_{\text{queda}}=x_{\text{top}}+v_x t.
Para o fragmento pesado ( m_1=0{,}10\\ \text{kg}) sabemos que cai em x_1=90\\ \text{m}. Então sua velocidade horizontal final v_1 é
v_1=\frac{x_1-x_{\text{top}}}{t}=\frac{90-50}{t}=\frac{40}{t}.
Usando 1/t^2=0{,}196 encontramos
v_1^2=\frac{1600}{t^2}=1600\cdot 0{,}196=313{,}6,
logo
v_1=\sqrt{313{,}6}\approx 17{,}71204812\\ \text{m/s}\approx 17{,}71\\ \text{m/s}.

Passo 7

Determinar onde cai o fragmento leve usando a conservação da posição do centro de massa: como a explosão é interna e rápida, a trajetória do centro de massa continua a mesma do projétil inteiro (sem explosão), logo o centro de massa cai em R=100\\ \text{m}. Assim
m_1 x_1 + m_2 x_2=(m_1+m_2)100.
Substituindo m_1=0{,}10, x_1=90, m_2=0{,}05:
0{,}10\cdot 90 + 0{,}05\cdot x_2 =0{,}15\cdot 100.
Calculando,
9 + 0{,}05 x_2 =15 \quad\Rightarrow\quad 0{,}05 x_2 =6 \quad\Rightarrow\quad x_2=120\\ \text{m}.
Portanto o fragmento mais leve cai a 120\\ \text{m} do ponto de lançamento.

Passo 8

Velocidade horizontal final do fragmento leve v_2:
v_2=\frac{x_2-x_{\text{top}}}{t}=\frac{120-50}{t}=\frac{70}{t}.
De forma análoga ao passo anterior, como v_2^2=\dfrac{4900}{t^2}=4900\cdot 0{,}196=960{,}4, temos
v_2=\sqrt{960{,}4}\approx 30{,}99583621\\ \text{m/s}\approx 31{,}00\\ \text{m/s}.

Passo 9

Velocidades “comunicadas” pela explosão: isto normalmente significa a mudança de velocidade horizontal que cada fragmento sofreu em relação à velocidade horizontal pré-explosão v_{0x}. Então definimos \Delta v_i=v_i-v_{0x}.
Usando v_{0x}\approx 22{,}13594362\\ \text{m/s},
\Delta v_1 = v_1 - v_{0x}\approx 17{,}71204812 - 22{,}13594362 = -4{,}4238955\\ \text{m/s}\approx -4{,}43\\ \text{m/s},
\Delta v_2 = v_2 - v_{0x}\approx 30{,}99583621 - 22{,}13594362 = 8{,}8598926\\ \text{m/s}\approx 8{,}86\\ \text{m/s}.
Interpretação: o fragmento pesado teve sua velocidade horizontal reduzida em 4{,}43\\ \text{m/s} (sinal negativo), enquanto o fragmento leve recebeu um acréscimo de 8{,}86\\ \text{m/s} na horizontal.

Passo 10

Energia mecânica liberada pela explosão: comparar a energia cinética horizontal antes e depois da explosão no instante imediato (no topo a componente vertical é nula).
Energia cinética antes:
K_i=\tfrac{1}{2}(m_1+m_2)v_{0x}^2=\tfrac{1}{2}\cdot 0{,}15\cdot (22{,}13594362)^2.
Como (22{,}13594362)^2=490/2? (mais direto: v_{0x}^2=2gH=490/ ? lembrando v_{0x}^2=2gH=490/ ?. Simplificando com os valores já usados, fica mais simples notar que v_{0x}^2=245\cdot 2? — para evitar confusão, vamos usar valor exato: v_{0x}^2=2gH=490\cdot\tfrac{1}{2}=245\cdot 2. De forma prática, usando v_0^2=490 e v_{0x}^2=v_0^2/2=245. Então
K_i=\tfrac{1}{2}\cdot 0{,}15\cdot 245=0{,}075\cdot 245=36{,}75\\ \text{J}.
Energia cinética depois:
K_f=\tfrac{1}{2}m_1 v_1^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_2^2.
Usando v_1^2=313{,}6 e v_2^2=960{,}4 (obtidos nos passos anteriores),
K_f=\tfrac{1}{2}\cdot 0{,}10\cdot 313{,}6 + \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}05\cdot 960{,}4 =0{,}05\cdot 313{,}6 + 0{,}025\cdot 960{,}4 =15{,}68 + 24{,}01=39{,}69\\ \text{J}.
Energia liberada pela explosão (aumento de energia cinética):
\Delta E = K_f - K_i = 39{,}69 - 36{,}75 = 2{,}94\\ \text{J}.

Resposta

a) 120\\ \text{m}
b) Velocidades comunicadas horizontalmente: \Delta v_{\text{leve}}=+8{,}86\\ \text{m/s} e \Delta v_{\text{pesado}}=-4{,}43\\ \text{m/s}
c) Energia mecânica liberada pela explosão: 2{,}94\\ \text{J}

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