Um rojão, lançado segundo um ânguo de
, explode em dois fragmentos ao atingir sua altura máxima, de
; os fragmentos são lançados horizontalmente. Um deles, de massa igual a 100 kg , cai no mesmo plano vertical da trajetória inicial, a 90 m de distância do ponto de lançamento. O outro fragmento tem massa igual a
. a) A que distância do ponto de lançamento cai o fragmento mais leve? b)Quais são as velocidades comunicadas aos dois fragmentos em consequência da explosão? Qual é a energia mecânica liberada pela explosão? (Resp. a)
; b)8,
na horizontal; c)
)
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados (vou escrever as massas em quilogramas para calcular):
- Ângulo de lançamento:
. - Altura máxima atingida:
. - No ponto de altura máxima ocorre uma explosão: os fragmentos são lançados horizontalmente.
- Um fragmento (o “pesado”) tem massa
e cai a do ponto de lançamento. - O outro fragmento (o “leve”) tem massa
.
O enunciado pede:
(a) a que distância do ponto de lançamento cai o fragmento mais leve;
(b) quais são as velocidades comunicadas aos dois fragmentos pela explosão (na direção horizontal) e qual a energia mecânica liberada pela explosão.
Passo 2
Primeiro, calcular a velocidade inicial do rojão e, em particular, a componente horizontal da velocidade no instante do pico. Para um projétil lançado com velocidade inicial
e componente vertical
, a altura máxima é dada por
Aqui
é a aceleração da gravidade; usaremos
. Como
, temos
. Substituindo,
Substituindo
:
portanto
Passo 3
A componente horizontal da velocidade (constante enquanto não explode) é
Mas de forma mais direta, usando
,
Para facilitar arredondamentos posteriores, usaremos
Passo 4
Posição horizontal do rojão no instante da explosão (altura máxima).
Para um lançamento em a altura máxima ocorre no meio do tempo de voo, logo horizontalmente fica no meio do alcance total. O alcance total do projétil, sem explosão, é
Para um lançamento em
Como
,
Portanto a explosão, ocorrendo no vértice, acontece em
Passo 5
Tempo de queda desde a altura
até o solo (queda livre a partir do repouso vertical)
Note que
(isso vai simplificar contas). Numericamente,
Passo 6
Velocidades horizontais finais dos fragmentos (após a explosão), obtidas pela relação deslocamento
.
Para o fragmento pesado (
) sabemos que cai em
. Então sua velocidade horizontal final
é
Usando
encontramos
logo
Passo 7
Determinar onde cai o fragmento leve usando a conservação da posição do centro de massa: como a explosão é interna e rápida, a trajetória do centro de massa continua a mesma do projétil inteiro (sem explosão), logo o centro de massa cai em
. Assim
Substituindo
,
,
:
Calculando,
Portanto o fragmento mais leve cai a
do ponto de lançamento.
Passo 8
Velocidade horizontal final do fragmento leve
:
De forma análoga ao passo anterior, como
, temos
Passo 9
Velocidades “comunicadas” pela explosão: isto normalmente significa a mudança de velocidade horizontal que cada fragmento sofreu em relação à velocidade horizontal pré-explosão
. Então definimos
.
Usando
,
Interpretação: o fragmento pesado teve sua velocidade horizontal reduzida em
(sinal negativo), enquanto o fragmento leve recebeu um acréscimo de
na horizontal.
Passo 10
Energia mecânica liberada pela explosão: comparar a energia cinética horizontal antes e depois da explosão no instante imediato (no topo a componente vertical é nula).
Energia cinética antes:
Como
(mais direto:
lembrando
. Simplificando com os valores já usados, fica mais simples notar que
— para evitar confusão, vamos usar valor exato:
. De forma prática, usando
e
. Então
Energia cinética depois:
Usando
e
(obtidos nos passos anteriores),
Energia liberada pela explosão (aumento de energia cinética):
Resposta
a)
b) Velocidades comunicadas horizontalmente:
e
c) Energia mecânica liberada pela explosão: