Um canhão (no nível do mar) atira uma bala de massa M numa inclinação de ângulo \theta e velocidade v_{o}. No ponto mais alto da trajetória, a bala explode em dois fragmentos (massas m_{1}+m_{2}=M ) com energia adicional E fazendo com que os dois fragmentos adquiram velocidades horizontais imediatamente depois da explosão. Qual a distância de separação dos dois fragmentos quando tocam o solo? (Resp. \left.d=\frac{v_{o} \operatorname{sen} \theta}{g} \sqrt{\frac{2\left(m_{1}-m_{2}\right) E}{m_{1} m_{2}}}\right)

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte:
  • Um canhão, ao nível do mar, atira uma bala de massa \,M, com velocidade inicial \,v_{0}, formando ângulo \theta com a horizontal.
  • No ponto mais alto da trajetória a bala explode em dois fragmentos de massas \,m_{1} e \,m_{2} tais que \,m_{1}+m_{2}=M.
  • A explosão fornece uma energia adicional \,E (energia interna convertida em energia cinética) e imediatamente depois da explosão os dois fragmentos possuem apenas velocidades horizontais.
  • Pergunta: qual é a distância de separação dos dois fragmentos quando tocam o solo?
Informações relevantes extraídas do enunciado que vamos usar depois:
  • No ponto mais alto da trajetória a velocidade vertical é zero (apenas componente horizontal existe naquele instante).
  • A explosão é instantânea (podemos aplicar conservação do momento linear horizontal durante a explosão).
  • A energia adicional \,E aumenta a energia cinética total dos fragmentos em relação ao estado imediatamente antes da explosão.

Passo 2

Vamos encontrar a velocidade horizontal do projétil no ponto mais alto e o tempo que os fragmentos levam a cair até o solo (esses são dados geométricos/cinemáticos da trajetória antes/apos a explosão).
  • A componente horizontal da velocidade antes da explosão (no topo) é a componente horizontal da velocidade inicial:
V \equiv v_{\text{top}} = v_{0}\cos\theta.
  • A altura do ponto mais alto em relação ao solo é a energia potencial adquirida pela componente vertical; usando a fórmula padrão do movimento vertical para o alcance do pico,
h=\frac{v_{0}^{2}\sin^{2}\theta}{2g}.
  • O tempo que cada fragmento leva para cair do topo até o solo (tempo de queda) é o mesmo para ambos e vem da queda livre a partir de altura \,h:
t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2}{g}\cdot\frac{v_{0}^{2}\sin^{2}\theta}{2g}}=\frac{v_{0}\sin\theta}{g}.
Observação intuitiva: ambos os fragmentos partem do mesmo ponto vertical com velocidade vertical nula, portanto têm o mesmo tempo de queda até o solo — a separação final na horizontal será simplesmente a diferença de suas velocidades horizontais multiplicada por esse tempo.

Passo 3

Aplicar conservação do momento linear horizontal durante a explosão.
  • Como a explosão é interna e extremamente rápida, forças externas horizontais (como arrasto do ar ou componente horizontal do peso) não dão impulso significativo durante o instante da explosão. Logo, o momento linear horizontal é conservado:
M V = m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2},
onde \,v_{1} e \,v_{2} são as velocidades horizontais dos fragmentos imediatamente após a explosão e \,V é a velocidade horizontal do conjunto imediatamente antes da explosão (já identificada no passo anterior).

Passo 4

Relacionar a energia fornecida \,E com as velocidades depois da explosão.
  • A energia adicional \,E transforma-se em aumento de energia cinética total. Assim, energia cinética total após a explosão é a energia cinética antes mais \,E:
\frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2}=\frac{1}{2}M V^{2}+E.
  • É conveniente passar para o referencial que se desloca com a velocidade do centro de massa antes da explosão (que aqui coincide com \,V porque antes da explosão o projétil se move com velocidade horizontal \,V). Definimos as velocidades relativas à velocidade inicial:
u_{1}=v_{1}-V,\qquad u_{2}=v_{2}-V.
  • Explicando por que isso ajuda: ao desenvolver a energia cinética depois da explosão em termos de \,u_{1},u_{2} e \,V aparece um termo linear em u multiplicado por V que se anula por causa da conservação do momento (passo anterior). O ganho de energia \,E fica então expresso apenas em termos de \,u_{1} e \,u_{2}:
E=\frac{1}{2}m_{1}u_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}u_{2}^{2}.
(Esse resultado vem de desenvolver \frac12 m_i (V+u_i)^2 e subtrair \frac12 M V^2; o termo cruzado em V u_i soma-se a zero pela conservação do momento.)

Passo 5

Usar a conservação do momento para relacionar \,u_{1} e \,u_{2}.
  • A conservação do momento em termos de u é
m_{1}(V+u_{1})+m_{2}(V+u_{2})=MV \quad\Longrightarrow\quad m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=0.
  • Portanto
u_{1}=-\frac{m_{2}}{m_{1}}\,u_{2}.
Isso significa que as velocidades relativas estão relacionadas: se um fragmento ganha um deslocamento relativo positivo, o outro ganha um deslocamento relativo proporcionalmente negativo de modo a manter o momento total.

Passo 6

Expressar \,E em função de uma única variável e resolver para a diferença de velocidades.
  • Substituindo u_{1} na expressão de \,E:
E=\frac{1}{2}m_{1}\left(-\frac{m_{2}}{m_{1}}u_{2}\right)^{2}+\frac{1}{2}m_{2}u_{2}^{2} =\frac{1}{2}\left(\frac{m_{2}^{2}}{m_{1}}+m_{2}\right)u_{2}^{2}.
  • Fatorando:
E=\frac{1}{2}\,m_{2}\left(\frac{m_{2}}{m_{1}}+1\right)u_{2}^{2} =\frac{1}{2}\,\frac{m_{2}(m_{1}+m_{2})}{m_{1}}\,u_{2}^{2}.
  • Lembrando que M=m_{1}+m_{2}, isso fica
E=\frac{1}{2}\,\frac{m_{2}M}{m_{1}}\,u_{2}^{2}.
  • Daí isolamos u_{2}^{2}:
u_{2}^{2}=\frac{2E\,m_{1}}{m_{2}M}.
  • Agora encontramos a diferença de velocidades horizontais entre os fragmentos:
v_{1}-v_{2}=(V+u_{1})-(V+u_{2})=u_{1}-u_{2}.
  • Usando u_{1}=-\dfrac{m_{2}}{m_{1}}u_{2}:
v_{1}-v_{2}=-\frac{m_{2}}{m_{1}}u_{2}-u_{2}=-\frac{M}{m_{1}}u_{2}.
  • Tomando o módulo e substituindo u_{2}^{2} calculado acima:
|v_{1}-v_{2}|=\frac{M}{m_{1}}\,|u_{2}| =\frac{M}{m_{1}}\sqrt{\frac{2E\,m_{1}}{m_{2}M}} =\sqrt{\frac{2E\,M}{m_{1}m_{2}}}.
Observação: esse passo mostra que a diferença de velocidades depende de M=m_{1}+m_{2} no numerador dentro da raiz.

Passo 7

Calcular a distância de separação dos fragmentos ao tocarem o solo.
  • A separação horizontal final é a diferença entre as posições horizontais quando atingem o solo; como ambas iniciam a queda no mesmo ponto e o tempo de queda é t (determinamos no passo 2), a separação é simplesmente
d = |v_{1}-v_{2}|\,t.
  • Substituindo t=\dfrac{v_{0}\sin\theta}{g} e |v_{1}-v_{2}|=\sqrt{\dfrac{2E\,M}{m_{1}m_{2}}}:
d=\frac{v_{0}\sin\theta}{g}\sqrt{\frac{2E\,M}{m_{1}m_{2}}}.
  • Finalmente, usando M=m_{1}+m_{2}, obtemos a forma explícita:
d=\frac{v_{0}\sin\theta}{g}\sqrt{\frac{2E\left(m_{1}+m_{2}\right)}{m_{1}m_{2}}}.

Resposta

d=\frac{v_{0}\sin\theta}{g}\sqrt{\frac{2E\left(m_{1}+m_{2}\right)}{m_{1}m_{2}}}

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