Um canhão (no nível do mar) atira uma bala de massa
numa inclinação de ângulo
e velocidade
. No ponto mais alto da trajetória, a bala explode em dois fragmentos (massas
) com energia adicional
fazendo com que os dois fragmentos adquiram velocidades horizontais imediatamente depois da explosão. Qual a distância de separação dos dois fragmentos quando tocam o solo? (Resp.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte:
- Um canhão, ao nível do mar, atira uma bala de massa
, com velocidade inicial , formando ângulo com a horizontal. - No ponto mais alto da trajetória a bala explode em dois fragmentos de massas
e tais que . - A explosão fornece uma energia adicional
(energia interna convertida em energia cinética) e imediatamente depois da explosão os dois fragmentos possuem apenas velocidades horizontais. - Pergunta: qual é a distância de separação dos dois fragmentos quando tocam o solo?
Informações relevantes extraídas do enunciado que vamos usar depois:
- No ponto mais alto da trajetória a velocidade vertical é zero (apenas componente horizontal existe naquele instante).
- A explosão é instantânea (podemos aplicar conservação do momento linear horizontal durante a explosão).
- A energia adicional
aumenta a energia cinética total dos fragmentos em relação ao estado imediatamente antes da explosão.
Passo 2
Vamos encontrar a velocidade horizontal do projétil no ponto mais alto e o tempo que os fragmentos levam a cair até o solo (esses são dados geométricos/cinemáticos da trajetória antes/apos a explosão).
- A componente horizontal da velocidade antes da explosão (no topo) é a componente horizontal da velocidade inicial:
- A altura do ponto mais alto em relação ao solo é a energia potencial adquirida pela componente vertical; usando a fórmula padrão do movimento vertical para o alcance do pico,
- O tempo que cada fragmento leva para cair do topo até o solo (tempo de queda) é o mesmo para ambos e vem da queda livre a partir de altura
:
Observação intuitiva: ambos os fragmentos partem do mesmo ponto vertical com velocidade vertical nula, portanto têm o mesmo tempo de queda até o solo — a separação final na horizontal será simplesmente a diferença de suas velocidades horizontais multiplicada por esse tempo.
Passo 3
Aplicar conservação do momento linear horizontal durante a explosão.
- Como a explosão é interna e extremamente rápida, forças externas horizontais (como arrasto do ar ou componente horizontal do peso) não dão impulso significativo durante o instante da explosão. Logo, o momento linear horizontal é conservado:
onde
e
são as velocidades horizontais dos fragmentos imediatamente após a explosão e
é a velocidade horizontal do conjunto imediatamente antes da explosão (já identificada no passo anterior).
Passo 4
Relacionar a energia fornecida
com as velocidades depois da explosão.
- A energia adicional
transforma-se em aumento de energia cinética total. Assim, energia cinética total após a explosão é a energia cinética antes mais :
- É conveniente passar para o referencial que se desloca com a velocidade do centro de massa antes da explosão (que aqui coincide com
porque antes da explosão o projétil se move com velocidade horizontal ). Definimos as velocidades relativas à velocidade inicial:
- Explicando por que isso ajuda: ao desenvolver a energia cinética depois da explosão em termos de
e aparece um termo linear em multiplicado por que se anula por causa da conservação do momento (passo anterior). O ganho de energia fica então expresso apenas em termos de e :
(Esse resultado vem de desenvolver
e subtrair
; o termo cruzado em
soma-se a zero pela conservação do momento.)
Passo 5
Usar a conservação do momento para relacionar
e
.
- A conservação do momento em termos de
é
- Portanto
Isso significa que as velocidades relativas estão relacionadas: se um fragmento ganha um deslocamento relativo positivo, o outro ganha um deslocamento relativo proporcionalmente negativo de modo a manter o momento total.
Passo 6
Expressar
em função de uma única variável e resolver para a diferença de velocidades.
- Substituindo
na expressão de :
- Fatorando:
- Lembrando que
, isso fica
- Daí isolamos
:
- Agora encontramos a diferença de velocidades horizontais entre os fragmentos:
- Usando
:
- Tomando o módulo e substituindo
calculado acima:
Observação: esse passo mostra que a diferença de velocidades depende de
no numerador dentro da raiz.
Passo 7
Calcular a distância de separação dos fragmentos ao tocarem o solo.
- A separação horizontal final é a diferença entre as posições horizontais quando atingem o solo; como ambas iniciam a queda no mesmo ponto e o tempo de queda é
(determinamos no passo 2), a separação é simplesmente
- Substituindo
e :
- Finalmente, usando
, obtemos a forma explícita: