Considerando a equação 2-8 do livro-texto adotado, desenvolver todas as etapas que conduzem à equação 2-9 \left(E_{k}=\gamma m c^{2}-m c^{2}\right), incluindo as que o livro deixa a cargo do leitor.

Passo 1

O que o enunciado pede: desenvolver todas as etapas que conduzem à equação 2‑9
E_{k}=\gamma m c^{2}-m c^{2}
partindo da equação 2‑8 do livro-texto. Vou tomar como ponto de partida a fórmula padrão usada em relatividade especial para o momento relativístico, que é geralmente a equação 2‑8 do texto:
\mathbf{p}=\gamma m \mathbf{v},
onde as informações relevantes que temos (ou que precisaremos) são:
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}
(é o fator de Lorentz),
\mathbf{v} é a velocidade do corpo, m a massa de repouso e c a velocidade da luz.
O objetivo final é mostrar, de forma detalhada, como a energia cinética relativística pode ser escrita como \gamma m c^{2}-m c^{2}. Neste passo só listei o que o enunciado e a convenção fornecem; a resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Conceitos físicos e matemáticos que vamos usar (sem resolver ainda): trabalho, potência e força no contexto relativístico. A ideia é usar a relação trabalho-energia: a variação da energia cinética é o trabalho realizado pela força resultante. Em forma diferencial:
dE_{k}=\mathbf{F}\cdot d\mathbf{x}.
A potência instantânea é
P=\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}.
Como força é taxa de variação do momento,
\mathbf{F}=\frac{d\mathbf{p}}{dt},
temos a relação útil (válida em relatividade também):
P=\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}=\mathbf{v}\cdot\frac{d\mathbf{p}}{dt}.
Explicar isso passo a passo: \mathbf{F} é a força aplicada, \mathbf{v} é o vetor velocidade, d\mathbf{x}=\mathbf{v}\,dt, e dE_k=\mathbf{F}\cdot d\mathbf{x}=\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}\,dt. Portanto integrar potência dá trabalho e trabalho dá variação de energia cinética.

Passo 3

Substituir o momento relativístico em P=\mathbf{v}\cdot d\mathbf{p}/dt. Usando \mathbf{p}=\gamma m \mathbf{v},
\mathbf{v}\cdot\frac{d\mathbf{p}}{dt}=\mathbf{v}\cdot\frac{d}{dt}\big(\gamma m \mathbf{v}\big).
Aplicando a regra do produto (derivada de \gamma \mathbf{v}):
\frac{d}{dt}\big(\gamma \mathbf{v}\big)=\gamma \frac{d\mathbf{v}}{dt}+\mathbf{v}\frac{d\gamma}{dt}.
Denotando \mathbf{a}=d\mathbf{v}/dt (a aceleração), obtemos
\mathbf{v}\cdot\frac{d\mathbf{p}}{dt}=m\big(\gamma\,\mathbf{v}\cdot\mathbf{a} + v^{2}\frac{d\gamma}{dt}\big),
pois \mathbf{v}\cdot(\mathbf{v}\,d\gamma/dt)=v^{2}d\gamma/dt.

Passo 4

Precisamos agora calcular d\gamma/dt em termos de \mathbf{v} e \mathbf{a}. Começamos da definição
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.
Para derivar \gamma em relação ao tempo usamos a regra da cadeia. É conveniente usar \beta=\dfrac{v}{c}, então \gamma=(1-\beta^{2})^{-1/2}. Derivando em relação a \beta:
\frac{d\gamma}{d\beta}=\frac{1}{2}(1-\beta^{2})^{-3/2}\cdot 2\beta=\gamma^{3}\beta.
Agora, como \beta=v/c,
\frac{d\beta}{dt}=\frac{1}{c}\frac{dv}{dt}=\frac{1}{c}\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}}{v},
mas é mais direto usar produto escalar para tratar vetores: aplicando cadeia completa (ou usando \beta^{2}=v^{2}/c^{2} e diferenciando),
\frac{d\gamma}{dt}=\gamma^{3}\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}}{c^{2}}.
Esta é a fórmula padrão (e muito útil): \dfrac{d\gamma}{dt}=\gamma^{3}\dfrac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}}{c^{2}}.

Passo 5

Substituímos d\gamma/dt na expressão de potência obtida no Passo 3:
\mathbf{v}\cdot\frac{d\mathbf{p}}{dt}=m\Big(\gamma\,\mathbf{v}\cdot\mathbf{a} + v^{2}\cdot\gamma^{3}\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}}{c^{2}}\Big).
Colocando \mathbf{v}\cdot\mathbf{a} em evidência:
\mathbf{v}\cdot\frac{d\mathbf{p}}{dt}=m(\mathbf{v}\cdot\mathbf{a})\Big(\gamma + \gamma^{3}\frac{v^{2}}{c^{2}}\Big).
Agora usamos a identidade algébrica que liga \gamma e \beta=v/c. Como \gamma^{2}=\dfrac{1}{1-\beta^{2}}, multiplica-se ambos os lados por (1-\beta^{2}) e rearranja-se para obter
\gamma^{2}\beta^{2}=\gamma^{2}-1.
Daí
1+\gamma^{2}\beta^{2}=\gamma^{2}.
Substituindo \beta^{2}=v^{2}/c^{2} na expressão dentro dos parênteses:
\gamma + \gamma^{3}\frac{v^{2}}{c^{2}}=\gamma\Big(1+\gamma^{2}\frac{v^{2}}{c^{2}}\Big)=\gamma\cdot\gamma^{2}=\gamma^{3}.
Portanto a potência simplifica para
\mathbf{v}\cdot\frac{d\mathbf{p}}{dt}=m\gamma^{3}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}).

Passo 6

Agora testamos a igualdade que queremos transformar em uma diferencial total. Observe que, usando d\gamma/dt=\gamma^{3}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{a})/c^{2}, temos
m c^{2}\frac{d\gamma}{dt}=m\gamma^{3}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}).
Comparando com o resultado do passo anterior, concluímos que
\mathbf{v}\cdot\frac{d\mathbf{p}}{dt}=m c^{2}\frac{d\gamma}{dt}.
Mas m c^{2}\dfrac{d\gamma}{dt}=\dfrac{d}{dt}\big(\gamma m c^{2}\big), pois m e c são constantes. Assim obtemos uma relação simples e muito útil:
\mathbf{v}\cdot\frac{d\mathbf{p}}{dt}=\frac{d}{dt}\big(\gamma m c^{2}\big).
Lembrete físico: o lado esquerdo é a potência, i.e. a taxa de trabalho, então a taxa de variação da quantidade \gamma m c^{2} é exatamente a potência fornecida ao corpo.

Passo 7

Integramos em relação ao tempo para transformar taxa em variação de energia. A variação da energia cinética entre um estado inicial (por exemplo repouso) e um estado com velocidade \mathbf{v} é
\Delta E_{k}=\int_{t_{0}}^{t}\mathbf{v}\cdot\frac{d\mathbf{p}}{dt}\,dt=\int_{t_{0}}^{t}\frac{d}{dt}\big(\gamma m c^{2}\big)\,dt.
A integral do último lado é imediata:
\Delta E_{k}=\big[\gamma m c^{2}\big]_{t_{0}}^{t}=\gamma m c^{2}-\gamma_{0} m c^{2}.
Escolhemos como estado inicial o repouso (convencionalmente a energia cinética em repouso é zero). Em repouso \mathbf{v}=0 e assim \gamma_{0}=1. Portanto
E_{k}=\gamma m c^{2}-1\cdot m c^{2}=\gamma m c^{2}-m c^{2}.

Resposta

E_{k}=\gamma m c^{2}-m c^{2}

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