Considerando a equação 2-8 do livro-texto adotado, desenvolver todas as etapas que conduzem à equação 2-9
, incluindo as que o livro deixa a cargo do leitor.
Passo 1
O que o enunciado pede: desenvolver todas as etapas que conduzem à equação 2‑9
partindo da equação 2‑8 do livro-texto. Vou tomar como ponto de partida a fórmula padrão usada em relatividade especial para o momento relativístico, que é geralmente a equação 2‑8 do texto:
onde as informações relevantes que temos (ou que precisaremos) são:
(é o fator de Lorentz),
é a velocidade do corpo,
a massa de repouso e
a velocidade da luz.
O objetivo final é mostrar, de forma detalhada, como a energia cinética relativística pode ser escrita como . Neste passo só listei o que o enunciado e a convenção fornecem; a resolução começa no próximo passo.
O objetivo final é mostrar, de forma detalhada, como a energia cinética relativística pode ser escrita como
Passo 2
Conceitos físicos e matemáticos que vamos usar (sem resolver ainda): trabalho, potência e força no contexto relativístico. A ideia é usar a relação trabalho-energia: a variação da energia cinética é o trabalho realizado pela força resultante. Em forma diferencial:
A potência instantânea é
Como força é taxa de variação do momento,
temos a relação útil (válida em relatividade também):
Explicar isso passo a passo:
é a força aplicada,
é o vetor velocidade,
, e
. Portanto integrar potência dá trabalho e trabalho dá variação de energia cinética.
Passo 3
Substituir o momento relativístico em
. Usando
,
Aplicando a regra do produto (derivada de
):
Denotando
(a aceleração), obtemos
pois
.
Passo 4
Precisamos agora calcular
em termos de
e
. Começamos da definição
Para derivar
em relação ao tempo usamos a regra da cadeia. É conveniente usar
, então
. Derivando em relação a
:
Agora, como
,
mas é mais direto usar produto escalar para tratar vetores: aplicando cadeia completa (ou usando
e diferenciando),
Esta é a fórmula padrão (e muito útil):
.
Passo 5
Substituímos
na expressão de potência obtida no Passo 3:
Colocando
em evidência:
Agora usamos a identidade algébrica que liga
e
. Como
, multiplica-se ambos os lados por
e rearranja-se para obter
Daí
Substituindo
na expressão dentro dos parênteses:
Portanto a potência simplifica para
Passo 6
Agora testamos a igualdade que queremos transformar em uma diferencial total. Observe que, usando
, temos
Comparando com o resultado do passo anterior, concluímos que
Mas
, pois
e
são constantes. Assim obtemos uma relação simples e muito útil:
Lembrete físico: o lado esquerdo é a potência, i.e. a taxa de trabalho, então a taxa de variação da quantidade
é exatamente a potência fornecida ao corpo.
Passo 7
Integramos em relação ao tempo para transformar taxa em variação de energia. A variação da energia cinética entre um estado inicial (por exemplo repouso) e um estado com velocidade
é
A integral do último lado é imediata:
Escolhemos como estado inicial o repouso (convencionalmente a energia cinética em repouso é zero). Em repouso
e assim
. Portanto