Questão 4. Um projétil de 10 kg é disparado verticalmente para cima a partir do solo com uma velocidade inicial de 50 \mathrm{~m} /s.
Determine a altura máxima h_{\text {máx_ } b} que ele atingirá se a resistência atmosférica for medida como F_{D}=0,001 v^{2} \mathrm{~N}, onde v é a velocidade escalar do projétil a qualquer instante, medida \mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{s}.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a altura máxima alcançada pelo projétil quando lançado verticalmente para cima, levando em conta resistência do ar proporcional a v^{2}. Dados fornecidos (retirei V_0 da imagem enviada):
massa do projétil: m = 10\\ \mathrm{kg}.
velocidade inicial (da imagem): V_0 = 50\\ \mathrm{m/s}.
força de resistência do ar: F_{D}=0{,}001\,v^{2}\\ \mathrm{N}, onde v é a velocidade escalar em \mathrm{m/s}. (Vou chamar k = 0{,}001.)
aceleração da gravidade: g = 9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}} (valor padrão).
O que se pede: a altura máxima h_{\text{máx}} atingida pelo projétil.
Passo 2
Entendendo as forças durante a subida (vou adotar sentido positivo para cima):
peso: força para baixo de módulo mg.
resistência do ar: como o projétil sobe, a velocidade é positiva para cima e a resistência age para baixo com módulo F_D = k v^2.
Portanto a soma das forças (para cima positiva) é
\sum F = -mg - k v^{2}.
Pela segunda lei de Newton:
m\frac{dv}{dt} = -mg - k v^{2}.
Expliquei por que o sinal é negativo em cada termo: ambos os termos são dirigidos para baixo, logo contribuem negativamente quando escolhemos cima como positiva.
Passo 3
Queremos a altura máxima, ou seja, integrar até o ponto onde a velocidade se anula (v=0). Para relacionar velocidade e posição sem integrar no tempo, uso a identidade da derivada composta (regra da cadeia):
h = \frac{1}{2\times 0{,}0001}\ln\!\left(\frac{9{,}8 + 0{,}25}{9{,}8}\right) = \frac{1}{0{,}0002}\ln\!\left(1 + \frac{0{,}25}{9{,}8}\right).
Passo 8
Faço as contas finais numéricas (mostrando passo a passo):
\frac{0{,}25}{9{,}8} \approx 0{,}0255102,
\ln\!\left(1{,}0255102\right) \approx 0{,}025187.
Como \dfrac{1}{0{,}0002}=5000, temos
h \approx 5000 \times 0{,}025187 \approx 125{,}94\\ \mathrm{m}.
Para comparação rápida: sem resistência do ar a altura seria \dfrac{V_0^{2}}{2g} = \dfrac{2500}{19{,}6} \approx 127{,}55\\ \mathrm{m}. A resistência reduz a altura, mas aqui a redução é pequena porque o coeficiente k é pequeno.