Questão 4. Um projétil de 10 kg é disparado verticalmente para cima a partir do solo com uma velocidade inicial de 50 \mathrm{~m} /s.
Determine a altura máxima h_{\text {máx_ } b}á que ele atingirá se a resistência atmosférica for medida como F_{D}=0,001 v^{2} \mathrm{~N}, onde v é a velocidade escalar do projétil a qualquer instante, medida \mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a altura máxima alcançada pelo projétil quando lançado verticalmente para cima, levando em conta resistência do ar proporcional a v^{2}. Dados fornecidos (retirei V_0 da imagem enviada):
  • massa do projétil: m = 10\\ \mathrm{kg}.
  • velocidade inicial (da imagem): V_0 = 50\\ \mathrm{m/s}.
  • força de resistência do ar: F_{D}=0{,}001\,v^{2}\\ \mathrm{N}, onde v é a velocidade escalar em \mathrm{m/s}. (Vou chamar k = 0{,}001.)
  • aceleração da gravidade: g = 9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}} (valor padrão).
    O que se pede: a altura máxima h_{\text{máx}}á atingida pelo projétil.

Passo 2

Entendendo as forças durante a subida (vou adotar sentido positivo para cima):
  • peso: força para baixo de módulo mg.
  • resistência do ar: como o projétil sobe, a velocidade é positiva para cima e a resistência age para baixo com módulo F_D = k v^2.
    Portanto a soma das forças (para cima positiva) é
\sum F = -mg - k v^{2}.
Pela segunda lei de Newton:
m\frac{dv}{dt} = -mg - k v^{2}.
Expliquei por que o sinal é negativo em cada termo: ambos os termos são dirigidos para baixo, logo contribuem negativamente quando escolhemos cima como positiva.

Passo 3

Queremos a altura máxima, ou seja, integrar até o ponto onde a velocidade se anula ( v=0). Para relacionar velocidade e posição sem integrar no tempo, uso a identidade da derivada composta (regra da cadeia):
\frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dy}\frac{dy}{dt} = v\frac{dv}{dy},
pois \frac{dy}{dt}=v. Substituindo em m\frac{dv}{dt} = -mg - k v^{2}, obtemos uma equação que envolve v e y:
m v \frac{dv}{dy} = -mg - k v^{2}.
Esse passo é muito útil porque transforma a equação do movimento em uma equação separável entre v e y, permitindo integrar para achar y (a altura).

Passo 4

Reorganizo a equação para separar v e y. Dividindo ambos os lados por m e isolando dy:
v\frac{dv}{dy} = -g - \frac{k}{m} v^{2}
\Rightarrow \frac{v}{g + \dfrac{k}{m} v^{2}}\,dv = -\,dy.
Aqui defini a constante
a := \frac{k}{m},
que simplifica a escrita. Note que a tem unidades tais que a v^{2} tem dimensão de aceleração.

Passo 5

Agora integro ambos os lados entre os limites apropriados: quando y vai de 0 (solo) até h (altura máxima), v vai de V_0 até 0. Montando a integral:
\int_{V_0}^{0} \frac{v}{g + a v^{2}}\,dv = -\int_{0}^{h} dy.
No lado esquerdo, uso a substituição u = g + a v^{2}, então du = 2a v\,dv. Assim
\int \frac{v}{g + a v^{2}}\,dv = \int \frac{1}{2a}\frac{du}{u} = \frac{1}{2a}\ln u + C = \frac{1}{2a}\ln\big(g + a v^{2}\big) + C.
Expliquei a técnica: reconhecer que a derivada do denominador aparece (proporcional) no numerador, o que leva a um log.

Passo 6

Avalio a integral definida usando a primitiva encontrada:
\left.\frac{1}{2a}\ln\big(g + a v^{2}\big)\right|_{V_0}^{0} = -h.
Calculando o lado esquerdo:
\frac{1}{2a}\big(\ln(g) - \ln(g + a V_0^{2})\big) = -h.
Multiplicando por -1 e simplificando o log:
h = \frac{1}{2a}\ln\!\left(\frac{g + a V_0^{2}}{g}\right).
Essa é a fórmula geral para a altura máxima quando a resistência é k v^{2}.

Passo 7

Agora substituo os valores numéricos. Primeiro calculo a:
a = \frac{k}{m} = \frac{0{,}001}{10} = 0{,}0001.
Calculo a V_0^{2}:
a V_0^{2} = 0{,}0001 \times 50^{2} = 0{,}0001 \times 2500 = 0{,}25.
Substituindo em h:
h = \frac{1}{2\times 0{,}0001}\ln\!\left(\frac{9{,}8 + 0{,}25}{9{,}8}\right) = \frac{1}{0{,}0002}\ln\!\left(1 + \frac{0{,}25}{9{,}8}\right).

Passo 8

Faço as contas finais numéricas (mostrando passo a passo):
\frac{0{,}25}{9{,}8} \approx 0{,}0255102,
\ln\!\left(1{,}0255102\right) \approx 0{,}025187.
Como \dfrac{1}{0{,}0002}=5000, temos
h \approx 5000 \times 0{,}025187 \approx 125{,}94\\ \mathrm{m}.
Para comparação rápida: sem resistência do ar a altura seria \dfrac{V_0^{2}}{2g} = \dfrac{2500}{19{,}6} \approx 127{,}55\\ \mathrm{m}. A resistência reduz a altura, mas aqui a redução é pequena porque o coeficiente k é pequeno.

Resposta

h_{\text{máx}} \approx 125{,}94\\ \mathrm{m}á

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