1. Durante o processo de solidificação de uma liga metálica usada na fabricação de componentes estruturais, a fração de material solidificado f(t) ao longo do tempo t pode ser modelada pela função
f(t)=1-e^-k t
onde k é uma constante que depende da temperatura do ambiente e das propriedades térmicas da liga. Esse parâmetro k pode ser ajustado durante o processo de resfriamento para controlar a taxa de solidificação e, assim, influenciar as propriedades finais do material, como resistência e ductilidade.
(a) Estudar o comportamento de um determinado sistema quando o tempo tende ao infinito, permite entender como este processo de solidificação se comporta quando está próximo do fim. Neste sentido, o que podemos dizer sobre a liga metálica em questão?
(b) Sabendo que a solidificação completa é essencial para evitar defeitos internos, como porosidades e trincas, discuta como o valor de k afeta o tempo necessário para alcançar uma fração solidificada próxima de 1, ou seja, uma solidificação praticamente completa.

Passo 1

O enunciado nos dá a fração de material solidificado ao longo do tempo
f(t) = 1 - e^-k t
onde k>0 é uma constante que reflete a taxa de solidificação. O conteúdo aqui envolve análise de limite para ttoinfty e interpretação física do parâmetro k na velocidade do processo.

Passo 2

Queremos o comportamento de f(t) quando ttoinfty. Como
limttoinfty e^-k t = 0
segue que
limttoinfty f(t) = 1 - 0 = 1
Fisicamente, isso significa que, em tempos muito grandes, a liga atinge 100 % de solidificação, ou seja, está totalmente solidificada e não há mais material líquido.

Passo 3

Para ver como k influencia o tempo necessário para chegar “praticamente” a f(t)=1, fixamos uma tolerância varepsilon>0 e impomos
f(t)>= 1 - varepsilon
Isto equivale a
1 - e^-k t>= 1 - varepsilon Longrightarrow e^-k t<= varepsilon Longrightarrow -k,t <= ln(varepsilon)
Longrightarrow t >= -ln(varepsilon)k
Como -ln(varepsilon) é positivo para varepsilon<1, vemos que quanto maior k, menor será o tempo t exigido para obter f(t)approx1. Em outras palavras, aumentar k acelera a solidificação, enquanto um k menor torna o processo mais lento.

Resposta

(a) limttoinftyf(t)=1, portanto a liga atinge solidificação completa.
(b) O parâmetro k está no denominador do tempo característico tapprox -ln(varepsilon)/k: quanto maior k, mais rápido o material se aproxima de f=1; quanto menor k, mais demorado o processo.

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