Encontre a solução geral de cada equação a seguir:
2 y^prime prime+y^prime+y=10 sen t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
2y''+y'+y=10sin t
Isso é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo. Para resolver, vamos:
  1. encontrar a solução geral da equação homogênea associada;
  2. obter uma solução particular por coeficientes a determinar;
  3. somar as duas para ter a solução geral.

Passo 2

A parte homogênea é
2y''+y'+y=0
A equação característica é
2r^2+r+1=0
O discriminante vale
De<a = 1-4cdot2cdot1 = -7,
logo as raízes são
r = -1pm iraiz74
Portanto a solução homogênea é
yh(t) = e^-t/4(C1cosl(tfracraiz74tr)+C2sinl(tfracraiz74tr)),
com C1 e C2 constantes.

Passo 3

Para a solução particular, tentamos
yp(t)=Acos t + Bsin t
Calculando derivadas:
yp' = -Asin t + Bcos t, yp'' = -Acos t - Bsin t
Substituindo em 2y''+y'+y
2(-Acos t - Bsin t)+(-Asin t + Bcos t)+(Acos t + Bsin t) =( -A+B )cos t +(-A -B)sin t
Igualando a 10sin t obtemos o sistema
-A + B = 0, -A - B = 10
Da primeira equação vem B=A. Então -2A=10 e
A = -5, B = -5
Logo
yp(t) = -5cos t ;-;5sin t

Passo 4

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = e^-t/4(C1cosl(tfracraiz74tr)+C2sinl(tfracraiz74tr)) -5cos t -5sin t

Resposta

y(t) = e^-t/4(C1cosl(tfracraiz74tr)+C2sinl(tfracraiz74tr)) -5cos t -5sin t

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