Encontre a solução geral de cada equação a seguir:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
Isso é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo. Para resolver, vamos:
- encontrar a solução geral da equação homogênea associada;
- obter uma solução particular por coeficientes a determinar;
- somar as duas para ter a solução geral.
Passo 2
A parte homogênea é
A equação característica é
O discriminante vale
logo as raízes são
Portanto a solução homogênea é
com
e
constantes.
Passo 3
Para a solução particular, tentamos
Calculando derivadas:
Substituindo em
dá
Igualando a
obtemos o sistema
Da primeira equação vem
. Então
e
Logo
Passo 4
A solução geral é a soma da homogênea com a particular: