Encontre a solução geral de cada equação a seguir:
y^prime prime+9 y=-2+9 t-9 t^2

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 9y = -2 + 9t - 9t^2
Para resolver, vamos primeiro encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular por coeficientes indeterminados.

Passo 2

A equação homogênea é
y'' + 9y = 0
A equação característica é
r^2 + 9 = 0,
cuja raízes são r = pm 3i. Logo, a solução geral homogênea é
yh(t) = Acos(3t) + Bsin(3t),
com A e B constantes arbítrias.

Passo 3

Para a solução particular yp(t), o lado direito é um polinômio de grau 2 em t. Usamos o método dos coeficientes indeterminados e supomos
yp(t) = at^2 + bt + c
Então
yp''(t) = 2a
e
yp'' + 9yp = 2a + 9(at^2 + bt + c) = 9a,t^2 + 9b,t + (2a + 9c)
Igualando aos termos de -9t^2 + 9t -2 obtemos o sistema:
9a = -9, 9b = 9, 2a + 9c = -2
Resolvendo,
a = -1, b = 1, -2 + 9c = -2implies c = 0
Assim
yp(t) = -t^2 + t

Passo 4

A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = Acos(3t) + Bsin(3t) - t^2 + t

Resposta

y(t) = Acos(3t) + Bsin(3t) - t^2 + t

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