Encontre a solução geral de cada equação a seguir:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
Para resolver, vamos primeiro encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular por coeficientes indeterminados.
Passo 2
A equação homogênea é
A equação característica é
cuja raízes são
. Logo, a solução geral homogênea é
com
e
constantes arbítrias.
Passo 3
Para a solução particular
, o lado direito é um polinômio de grau 2 em
. Usamos o método dos coeficientes indeterminados e supomos
Então
e
Igualando aos termos de
obtemos o sistema:
Resolvendo,
Assim
Passo 4
A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular: