1. Uma placa de metal está situada no plano x y e ocupa o retângulo 0 \leqslant x \leqslant 10,0 \leqslant y \leqslant 8, onde x e y são medidos em metros. A temperatura no ponto (x, y) do plano é T(x, y), onde T é medido em graus Celsius. Temperaturas em pontos igualmente espaçados foram medidas e registradas na tabela.
    (a) Estime o valor das derivadas parciais T_{x}(6,4) e T_{y}(6,4). Quais são as unidades?

Passo 1

O enunciado pede para estimar as derivadas parciais \displaystyle T_x(6,4) e \displaystyle T_y(6,4) e informar as unidades. As informações que o enunciado dá são:
  • A placa ocupa o retângulo 0\le x\le 10,\;0\le y\le 8 (metros).
  • A temperatura no ponto (x,y) é T(x,y) em graus Celsius.
  • “Temperaturas em pontos igualmente espaçados foram medidas e registradas na tabela.” — o enunciado afirma que existe uma tabela que contém os valores de T em uma grade igualmente espaçada.
Importante: a tabela com os valores numéricos de T NÃO foi enviada aqui. Para obter um valor numérico das estimativas em (6,4) é necessário conhecer:
  • o espaçamento da grade em x e em y (vou chamar de h e k), e
  • os valores de T nos pontos vizinhos de (6,4) (por exemplo T(6\pm h,4) e T(6,4\pm k)).
Sem esses dados numéricos da tabela não é possível calcular numericamente as estimativas pedidas. Nos passos seguintes eu vou explicar passo a passo como proceder para calcular as estimativas assim que esses números estiverem disponíveis.

Passo 2

Entendendo o que é uma derivada parcial (aula curta e prática).
  • A derivada parcial \displaystyle T_x(6,4) mede a taxa de variação da temperatura quando se varia x perto de x=6, mantendo y fixo em y=4. Ou seja, quanto a temperatura muda por unidade de comprimento na direção x, mantendo y constante.
  • Analogamente, \displaystyle T_y(6,4) mede a taxa de variação quando se varia y perto de y=4, mantendo x fixo em x=6.
  • As unidades são: graus Celsius por metro. Em notação \displaystyle {^\circ\mathrm{C}}/\mathrm{m}.

Passo 3

Como estimar numericamente a derivada parcial a partir de valores da tabela (método recomendado).
  • Quando temos valores de uma função em pontos igualmente espaçados, a melhor aproximação prática (mais precisa entre as diferenças finitas simples) é a diferença central.
  • Suponha que o espaçamento em x seja h (em metros) e o espaçamento em y seja k (em metros). Então as fórmulas de aproximação de diferença central são:
T_x(6,4)\approx \frac{T(6+h,4)-T(6-h,4)}{2h}.
T_y(6,4)\approx \frac{T(6,4+k)-T(6,4-k)}{2k}.
Explicação didática do porquê:
  • A derivada de uma função unidimensional f'(a) é o limite de diferenças \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} quando h\to0. Em uma grade discreta usamos diferenças. A diferença central usa pontos igualmente afastados à direita e à esquerda de a, cancelando erros de ordem ímpar e dando erro local da ordem de h^2 (mais precisa que a diferença para frente ou para trás, que tem erro O(h)).
  • Aplicado a funções de duas variáveis, fixamos a outra variável e usamos a mesma ideia, por isso as fórmulas acima.
Observações práticas se você estiver perto da borda da tabela:
  • Se (6,4) estiver no interior da grade (i.e., existem pontos à esquerda e à direita em x, e acima e abaixo em y), use as diferenças centrais acima.
  • Se faltar um vizinho (por exemplo se 6-h não estiver na grade), então usa-se a diferença para frente ou para trás, por exemplo:
T_x(6,4)\approx \frac{T(6+h,4)-T(6,4)}{h}\quad\text{(diferença para frente)},ç
ou
T_x(6,4)\approx \frac{T(6,4)-T(6-h,4)}{h}\quad\text{(diferença para trás)}.çá
Essas têm menor precisão (erro O(h)), mas são usadas quando não há pontos simétricos.

Passo 4

Como aplicar isso passo a passo quando a tabela estiver à sua frente (roteiro para fazer na prova).
  1. Identifique na tabela a lista de coordenadas x e y para achar o espaçamento. Por exemplo, verifique se os x na tabela são 0,2,4,6,8,10 (então h=2 m) ou 0,1,2,\dots (então h=1 m). Faça o mesmo para y e encontre k.
  2. Localize o valor T(6,4) na tabela e os valores dos vizinhos necessários: T(6+h,4), T(6-h,4), T(6,4+k), T(6,4-k).
  3. Substitua nas fórmulas de diferença central:
T_x(6,4)\approx \frac{T(6+h,4)-T(6-h,4)}{2h}, \qquad T_y(6,4)\approx \frac{T(6,4+k)-T(6,4-k)}{2k}.
  1. Calcule numericamente e reporte os resultados com unidades {^\circ\mathrm{C}}/\mathrm{m}. Se tiveram de usar diferença para frente/para trás, anote que a precisão é menor.

Passo 5

Exemplo ilustrativo (hipotético) — para treinar e entender sem a tabela real.
  • Suponha que a grade tem espaçamento h=k=2 m e que a tabela dá:
    T(4,4)=20\;{^\circ\mathrm{C}},\;T(6,4)=22\;{^\circ\mathrm{C}},\;T(8,4)=26\;{^\circ\mathrm{C}},
    T(6,2)=19\;{^\circ\mathrm{C}},\;T(6,4)=22\;{^\circ\mathrm{C}},\;T(6,6)=25\;{^\circ\mathrm{C}}.
  • Então
T_x(6,4)\approx\frac{T(8,4)-T(4,4)}{2\cdot 2}=\frac{26-20}{4}=\frac{6}{4}=1{,}5\;{^\circ\mathrm{C}}/\mathrm{m},
T_y(6,4)\approx\frac{T(6,6)-T(6,2)}{2\cdot 2}=\frac{25-19}{4}=\frac{6}{4}=1{,}5\;{^\circ\mathrm{C}}/\mathrm{m}.
  • Isso mostra concretamente como proceder quando tiver os números reais.

Passo 6

Resumo e sinal de ânimo
  • Resumindo: o procedimento é simples — identificar o espaçamento e os quatro valores vizinhos e aplicar diferença central. As unidades são {^\circ\mathrm{C}}/\mathrm{m}.
  • Você consegue fazer isso rapidinho na prova: localiza quatro entradas na tabela, substitui e calcula. Eu estou confiante que, com o método acima, você resolve em menos de 2 minutos quando tiver a tabela na frente. Força — dá pra fazer!

Resposta

Não é possível fornecer valores numéricos para T_x(6,4) e T_y(6,4) porque a tabela de temperaturas mencionada no enunciado não foi fornecida. Em termos dos valores da tabela, as estimativas são:
T_x(6,4)\approx\frac{T(6+h,4)-T(6-h,4)}{2h}, \qquad T_y(6,4)\approx\frac{T(6,4+k)-T(6,4-k)}{2k},
onde h e k são os espaçamentos da grade em x e y. As unidades são {^\circ\mathrm{C}}/\mathrm{m}.

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