- Uma placa de metal está situada no plano
e ocupa o retângulo
, onde
e
são medidos em metros. A temperatura no ponto
do plano é
, onde
é medido em graus Celsius. Temperaturas em pontos igualmente espaçados foram medidas e registradas na tabela.
(a) Estime o valor das derivadas parciais
e
. Quais são as unidades?
(a) Estime o valor das derivadas parciais
Passo 1
O enunciado pede para estimar as derivadas parciais
e
e informar as unidades. As informações que o enunciado dá são:
- A placa ocupa o retângulo
(metros). - A temperatura no ponto
é em graus Celsius. - “Temperaturas em pontos igualmente espaçados foram medidas e registradas na tabela.” — o enunciado afirma que existe uma tabela que contém os valores de
em uma grade igualmente espaçada.
Importante: a tabela com os valores numéricos de
NÃO foi enviada aqui. Para obter um valor numérico das estimativas em
é necessário conhecer:
- o espaçamento da grade em
e em (vou chamar de e ), e - os valores de
nos pontos vizinhos de (por exemplo e ).
Sem esses dados numéricos da tabela não é possível calcular numericamente as estimativas pedidas. Nos passos seguintes eu vou explicar passo a passo como proceder para calcular as estimativas assim que esses números estiverem disponíveis.
Passo 2
Entendendo o que é uma derivada parcial (aula curta e prática).
- A derivada parcial
mede a taxa de variação da temperatura quando se varia perto de , mantendo fixo em . Ou seja, quanto a temperatura muda por unidade de comprimento na direção , mantendo constante. - Analogamente,
mede a taxa de variação quando se varia perto de , mantendo fixo em . - As unidades são: graus Celsius por metro. Em notação
.
Passo 3
Como estimar numericamente a derivada parcial a partir de valores da tabela (método recomendado).
- Quando temos valores de uma função em pontos igualmente espaçados, a melhor aproximação prática (mais precisa entre as diferenças finitas simples) é a diferença central.
- Suponha que o espaçamento em
seja (em metros) e o espaçamento em seja (em metros). Então as fórmulas de aproximação de diferença central são:
Explicação didática do porquê:
- A derivada de uma função unidimensional
é o limite de diferenças quando . Em uma grade discreta usamos diferenças. A diferença central usa pontos igualmente afastados à direita e à esquerda de , cancelando erros de ordem ímpar e dando erro local da ordem de (mais precisa que a diferença para frente ou para trás, que tem erro ). - Aplicado a funções de duas variáveis, fixamos a outra variável e usamos a mesma ideia, por isso as fórmulas acima.
Observações práticas se você estiver perto da borda da tabela:
- Se
estiver no interior da grade (i.e., existem pontos à esquerda e à direita em , e acima e abaixo em ), use as diferenças centrais acima. - Se faltar um vizinho (por exemplo se
não estiver na grade), então usa-se a diferença para frente ou para trás, por exemplo:
ou
Essas têm menor precisão (erro
), mas são usadas quando não há pontos simétricos.
Passo 4
Como aplicar isso passo a passo quando a tabela estiver à sua frente (roteiro para fazer na prova).
- Identifique na tabela a lista de coordenadas
e para achar o espaçamento. Por exemplo, verifique se os na tabela são (então m) ou (então m). Faça o mesmo para e encontre . - Localize o valor
na tabela e os valores dos vizinhos necessários: , , , . - Substitua nas fórmulas de diferença central:
- Calcule numericamente e reporte os resultados com unidades
. Se tiveram de usar diferença para frente/para trás, anote que a precisão é menor.
Passo 5
Exemplo ilustrativo (hipotético) — para treinar e entender sem a tabela real.
- Suponha que a grade tem espaçamento
m e que a tabela dá:
,
. - Então
- Isso mostra concretamente como proceder quando tiver os números reais.
Passo 6
Resumo e sinal de ânimo
- Resumindo: o procedimento é simples — identificar o espaçamento e os quatro valores vizinhos e aplicar diferença central. As unidades são
. - Você consegue fazer isso rapidinho na prova: localiza quatro entradas na tabela, substitui e calcula. Eu estou confiante que, com o método acima, você resolve em menos de 2 minutos quando tiver a tabela na frente. Força — dá pra fazer!
Resposta
Não é possível fornecer valores numéricos para
e
porque a tabela de temperaturas mencionada no enunciado não foi fornecida. Em termos dos valores da tabela, as estimativas são:
onde
e
são os espaçamentos da grade em
e
. As unidades são
.