5-6 Esboce várias curvas de nível da função.
f(x, y)=e^{x}+y

Passo 1

O enunciado pede para esboçar várias curvas de nível da função f(x,y)=e^{x}+y.
Informações dadas:
  • A função é \,f(x,y)=e^{x}+y\,.
  • O que se quer: as curvas de nível, ou seja os conjuntos de pontos (x,y) onde f(x,y) tem um valor fixo (constante).
Pergunta concreta que vamos responder: quais são as equações das curvas de nível e como desenhá-las (vários exemplos concretos para rascunho)?

Passo 2

Definição e transformação algébrica (o passo prático para obter a curva de nível).
Uma curva de nível correspondente a um valor constante c é o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem
f(x,y)=c.
Substituindo f,
e^{x}+y=c.
Isolando y,
y = c - e^{x}.
Portanto, cada curva de nível é o gráfico da função univariante x\mapsto c-e^{x} no plano (x,y), uma família de curvas indexada por c\in\mathbb{R}.

Passo 3

Forma e propriedades gerais das curvas y=c-e^{x}.
  • Para cada c fixo a curva é uma translação vertical da curva base -e^{x}: a soma de uma constante.
  • Derivada (inclinação da curva em cada x):
\frac{dy}{dx} = -e^{x},
que é sempre negativa ( -e^{x}<0 para todo x). Logo cada curva é estritamente decrescente.
  • Comportamento assintótico:
    • Quando x\to -\infty, e^{x}\to 0 e então y\to c. Ou seja, a curva tem assíntota horizontal y=c à esquerda.
    • Quando x\to +\infty, e^{x}\to +\infty e então y\to -\infty. Não há assíntota à direita (vai para -\infty).
  • Interseções simples:
    • Interseção com o eixo y (ou seja x=0): y(0)=c-e^{0}=c-1. Então o ponto (0,c-1) pertence à curva.
    • Cruzamento com o eixo x (ou seja y=0) existe somente se c>0; nesse caso ocorre em x=\ln c, pois 0=c-e^{x}\Rightarrow e^{x}=c\Rightarrow x=\ln c.
  • Curvas com valores diferentes c_1\neq c_2 não se intersectam: se c_1\neq c_2 então y=c_1-e^{x} e y=c_2-e^{x} nunca são iguais para o mesmo x.

Passo 4

Como esboçar na prática — instruções passo a passo para o rascunho (sem calculadora complicada).
  1. Escolha alguns valores de nível c para desenhar várias curvas: por exemplo c=-1,\,0,\,1,\,2.
  2. Trace linhas horizontais leves nas alturas y=c — estas serão as assíntotas à esquerda (ou guias).
  3. Para cada c, calcule pontos fáceis:
    • Em x=-2: y=c-e^{-2}. Como e^{-2}\approx 0,135, tem-se y\approx c-0,135.
    • Em x=-1: y=c-e^{-1}. Como e^{-1}\approx 0,368, tem-se y\approx c-0,368.
    • Em x=0: y=c-1.
    • Em x=1: y=c-e. Como e\approx 2,718, tem-se y\approx c-2,718.
  4. Marque esses pontos no plano para cada c. Lembre que à esquerda (valores negativos de x) a curva se aproxima de y=c; à direita (grandes x) a curva desce rapidamente.
  5. Una os pontos por uma curva suave e decrescente que fica próxima de y=c para x muito negativos e mergulha para -\infty para x grandes positivos.
  6. Repita para os vários c. As curvas ficarão “empilhadas” verticalmente: a curva de c=2 fica acima da de c=1 à esquerda (cada uma com sua assíntota y=c), e todas têm a mesma forma geral.

Passo 5

Exemplos numéricos concretos para facilitar o desenho (valores arredondados para rascunho).
Para c=-1:
  • x=-2\Rightarrow y\approx -1-0,135=-1,135.
  • x=-1\Rightarrow y\approx -1-0,368=-1,368.
  • x=0\Rightarrow y=-1-1=-2.
  • Equação: y=-1-e^{x}.
Para c=0:
  • x=-2\Rightarrow y\approx 0-0,135=-0,135.
  • x=-1\Rightarrow y\approx 0-0,368=-0,368.
  • x=0\Rightarrow y=-1.
  • Equação: y=-e^{x}.
Para c=1:
  • x=-2\Rightarrow y\approx 1-0,135=0,865.
  • x=-1\Rightarrow y\approx 1-0,368=0,632.
  • x=0\Rightarrow y=0.
  • Equação: y=1-e^{x}. (Note que cruza o eixo x em x=\ln 1=0.)
Para c=2:
  • x=-2\Rightarrow y\approx 2-0,135=1,865.
  • x=-1\Rightarrow y\approx 2-0,368=1,632.
  • x=0\Rightarrow y=1.
  • Equação: y=2-e^{x}.
Esses pontos são suficientes para traçar curvas suaves representativas.

Passo 6

Relação com o gradiente (uma dica útil para prova/interpretação).
O gradiente de f é
\displaystyle \nabla f(x,y) = \bigl(e^{x},\,1\bigr).
O gradiente é sempre perpendicular às curvas de nível. A inclinação da direção do gradiente não é pedida para desenhar, mas é um bom controle: a tangente à curva tem declividade -e^{x} (conferindo que a derivada que encontramos para y(x) está correta).

Passo 7

Resumo prático final para o esboço:
  • Famíla geral de curvas de nível: y=c-e^{x}, para vários valores de c\in\mathbb{R}.
  • Para desenhar: escolha alguns c (ex.: -1,0,1,2), marque pontos em x=-2,-1,0,1 usando os valores aproximados dados, desenhe curvas decrescentes que têm assíntota horizontal y=c à esquerda e descem para -\infty à direita.

Resposta

y=c-e^{x},\quad c\in\mathbb{R}.
Exemplos de curvas a esboçar:
y=-1-e^{x}
y=-e^{x}
y=1-e^{x}
y=2-e^{x}

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