5-6 Esboce várias curvas de nível da função.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar várias curvas de nível da função
.
Informações dadas:
- A função é
. - O que se quer: as curvas de nível, ou seja os conjuntos de pontos
onde tem um valor fixo (constante).
Pergunta concreta que vamos responder: quais são as equações das curvas de nível e como desenhá-las (vários exemplos concretos para rascunho)?
Passo 2
Definição e transformação algébrica (o passo prático para obter a curva de nível).
Uma curva de nível correspondente a um valor constante
é o conjunto de pontos
que satisfazem
Substituindo
,
Isolando
,
Portanto, cada curva de nível é o gráfico da função univariante
no plano
, uma família de curvas indexada por
.
Passo 3
Forma e propriedades gerais das curvas
.
- Para cada
fixo a curva é uma translação vertical da curva base : a soma de uma constante. - Derivada (inclinação da curva em cada
):
que é sempre negativa (
para todo
). Logo cada curva é estritamente decrescente.
- Comportamento assintótico:
- Quando
, e então . Ou seja, a curva tem assíntota horizontal à esquerda. - Quando
, e então . Não há assíntota à direita (vai para ).
- Quando
- Interseções simples:
- Interseção com o eixo
(ou seja ): . Então o ponto pertence à curva. - Cruzamento com o eixo
(ou seja ) existe somente se ; nesse caso ocorre em , pois .
- Interseção com o eixo
- Curvas com valores diferentes
não se intersectam: se então e nunca são iguais para o mesmo .
Passo 4
Como esboçar na prática — instruções passo a passo para o rascunho (sem calculadora complicada).
- Escolha alguns valores de nível
para desenhar várias curvas: por exemplo . - Trace linhas horizontais leves nas alturas
— estas serão as assíntotas à esquerda (ou guias). - Para cada
, calcule pontos fáceis: - Em
: . Como , tem-se . - Em
: . Como , tem-se . - Em
: . - Em
: . Como , tem-se .
- Em
- Marque esses pontos no plano para cada
. Lembre que à esquerda (valores negativos de ) a curva se aproxima de ; à direita (grandes ) a curva desce rapidamente. - Una os pontos por uma curva suave e decrescente que fica próxima de
para muito negativos e mergulha para para grandes positivos. - Repita para os vários
. As curvas ficarão “empilhadas” verticalmente: a curva de fica acima da de à esquerda (cada uma com sua assíntota ), e todas têm a mesma forma geral.
Passo 5
Exemplos numéricos concretos para facilitar o desenho (valores arredondados para rascunho).
Para
:
-
. -
. -
. - Equação:
.
Para
:
-
. -
. -
. - Equação:
.
Para
:
-
. -
. -
. - Equação:
. (Note que cruza o eixo em .)
Para
:
-
. -
. -
. - Equação:
.
Esses pontos são suficientes para traçar curvas suaves representativas.
Passo 6
Relação com o gradiente (uma dica útil para prova/interpretação).
O gradiente de
é
O gradiente é sempre perpendicular às curvas de nível. A inclinação da direção do gradiente não é pedida para desenhar, mas é um bom controle: a tangente à curva tem declividade
(conferindo que a derivada que encontramos para
está correta).
Passo 7
Resumo prático final para o esboço:
- Famíla geral de curvas de nível:
, para vários valores de . - Para desenhar: escolha alguns
(ex.: ), marque pontos em usando os valores aproximados dados, desenhe curvas decrescentes que têm assíntota horizontal à esquerda e descem para à direita.
Resposta
Exemplos de curvas a esboçar: