Em um oscilador massa mola amortecido, um corpo de 2,0 \mathrm{~kg} oscila preso a uma mola, com
T^{\prime}=0,1144 \mathrm{~s}. Calcular: a) a constante de amortecimento do sistema se a energia diminui de 5 \% por período; b) o tempo para que a amplitude das oscilações caia para \frac{1}{4} da inicial; c) a energia perdida (dissipada) até esse instante; d) a amplitude perdida até esse instante.
\begin{aligned} & \rho=m / V ; p=F / A \\\ & p_{2}=p_{1}+\rho g\left(y_{1}-y_{2}\right) \\\ & p=p_{0}+\rho g h \\\ & p=p_{0}-\rho g h \\\ & p_{0}=\rho g h ; \quad p_{M}=\rho g h \\\ & \Delta p=\Delta p_{\text {ext }} \\\ & F_{E}=(m g)_{f l \text { desl }} \end{aligned}
\begin{aligned} & F(x)=-k x \\\ & \omega=\sqrt{k / m} \\\ & \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-\omega^{2} x \\\ & x(t)=x_{m} \cos (\omega t+\varphi) \\\ & v(t)=-x_{m} \omega \operatorname{sen}(\omega t+\varphi) \\\ & a(t)=-x_{m} \omega^{2} \cos (\omega t+\varphi) \end{aligned}
\begin{aligned} & T=2 \pi \sqrt{I /(m g h)} \\\ & I=I_{C M}+m h^{2} \end{aligned}
\begin{aligned} & F(x)=-k x \\\ & f_{v}=-b v_{x} \\\ & \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-k \frac{x}{m}-\frac{b}{m} \frac{d x}{d t} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá um oscilador massa-mola amortecido e pede quatro coisas. Dados e perguntas listados claramente:
  • Massa do corpo: m=2{,}0\\ \mathrm{kg}.
  • Período amortecido medido: T' = 0{,}1144\\ \mathrm{s}.
  • Informação sobre a energia: a energia do sistema diminui 5\% a cada período (isto é, após um período a energia vale 95\% da anterior).
  • Pedidos:
    a) Calcular a constante de amortecimento do sistema (coeficiente viscóseo b no termo f_v=-b v).
    b) Calcular o tempo necessário para que a amplitude das oscilações caia para \tfrac{1}{4} da amplitude inicial.
    c) Calcular a energia perdida (dissipada) até esse instante (quando a amplitude for \tfrac{1}{4} da inicial).
    d) Calcular a amplitude perdida até esse instante.
Observação importante: o enunciado não fornece a amplitude inicial A_0 nem a energia inicial E_0. Portanto, respostas para (c) e (d) serão expressas em função de E_0 e A_0, respectivamente, ou em frações/percentuais.

Passo 2

Modelagem e relações úteis (explicação didática dos conceitos usados):
  • Equação de movimento para amortecimento viscoso (uma forma padrão):
\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + 2\gamma \frac{dx}{dt} + \omega_{0}^{2} x = 0,
onde:
  • \gamma é a taxa de amortecimento (com unidades \mathrm{s^{-1}}); ela está relacionada ao coeficiente b pela relação que vamos apresentar em seguida.
  • \omega_{0}=\sqrt{k/m} é a frequência angular natural (do sistema sem amortecimento).
  • Força viscosa linear: f_v=-b v. Relacionando com a equação acima, para um sistema massa-mola:
2\gamma = \frac{b}{m}\quad\Rightarrow\quad b = 2 m \gamma.
Explicação: ao escrever a força de amortecimento proporcional à velocidade como -b v e dividir tudo por m, surge um termo (b/m)\, \dot x; convencionamos escrever esse termo como 2\gamma \dot x, daí 2\gamma=b/m.
  • Com amortecimento leve (subamortecido), a amplitude decai exponencialmente:
A(t)=A_0 e^{-\gamma t},
onde A_0 é a amplitude inicial. Como a energia potencial máxima (e a energia total média) é proporcional ao quadrado da amplitude, a energia decai como:
E(t)=E_0 e^{-2\gamma t}.
Explicação: energia elástica máxima \propto A^2, então ao quadrado do fator exponencial vem e^{-2\gamma t}.

Passo 3

Usar a condição “a energia diminui de 5\% por período” para encontrar \gamma:
  • Em um período amortecido T' a energia sofre fator 0{,}95:
E(T') = E_0 e^{-2\gamma T'} = 0{,}95\, E_0.
  • Dividindo por E_0 e isolando \gamma:
e^{-2\gamma T'} = 0{,}95 \quad\Rightarrow\quad -2\gamma T' = \ln(0{,}95).
  • Logo:
\gamma = -\frac{1}{2T'}\ln(0{,}95).
Agora substituímos numericamente \;T' = 0{,}1144\\ \mathrm{s}:
  • Primeiro calcule \ln(0{,}95). Um valor numérico:
\ln(0{,}95) \approx -0{,}051293.
  • Então
\gamma = -\frac{1}{2\cdot 0{,}1144}\cdot(-0{,}051293) = \frac{0{,}051293}{0{,}2288} \approx 0{,}2241\\ \mathrm{s^{-1}}.
Interpretação rápida: \gamma é relativamente pequeno comparado à frequência angular (verificação rápida em passos seguintes), o que confirma que o regime é subamortecido e as fórmulas usadas são consistentes.

Passo 4

Calcular a constante de amortecimento b (pedida em (a)) usando b=2 m \gamma:
  • Com m=2{,}0\\ \mathrm{kg} e \gamma \approx 0{,}2241\\ \mathrm{s^{-1}}:
b = 2 m \gamma = 2\cdot 2{,}0 \cdot 0{,}2241 = 4\cdot 0{,}2241 \approx 0{,}8964\\ \mathrm{kg\\ s^{-1}}.
Arredondando de modo razoável para três algarismos significativos:
b \approx 0{,}896\\ \mathrm{kg\\ s^{-1}}.

Passo 5

Resolver (b): tempo para a amplitude cair para \tfrac{1}{4} da inicial.
  • A relação de decaimento da amplitude é:
\frac{A(t)}{A_0} = e^{-\gamma t}.
Queremos A(t)/A_0 = \tfrac{1}{4}. Então:
e^{-\gamma t} = \frac{1}{4} \quad\Rightarrow\quad -\gamma t = \ln\!\left(\frac{1}{4}\right) = -\ln(4).
  • Isolando t:
t = \frac{1}{\gamma}\ln(4).
  • Substituindo \gamma \approx 0{,}2241\\ \mathrm{s^{-1}} e \ln(4)\approx 1{,}386294:
t \approx \frac{1{,}386294}{0{,}2241} \approx 6{,}18\\ \mathrm{s}.
Portanto o tempo pedido é aproximadamente \;6{,}18\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Resolver (c): energia perdida até esse instante.
  • Energia final quando A caiu para \tfrac{1}{4}A_0 é
E_f = E_0 \left(\frac{A_f}{A_0}\right)^{2} = E_0 \left(\frac{1}{4}\right)^{2} = E_0 \frac{1}{16}.
  • Energia dissipada (perdida) até esse instante:
\Delta E = E_0 - E_f = E_0 - \frac{E_0}{16} = \frac{15}{16} E_0.
  • Em percentual, isso corresponde a
\frac{\Delta E}{E_0}\times 100\% = \frac{15}{16}\times100\% = 93{,}75\%.
Observação: como E_0 não foi dado, a resposta fica em função de E_0: \Delta E = \tfrac{15}{16}E_0.

Passo 7

Resolver (d): amplitude perdida até esse instante.
  • Amplitude inicial A_0, amplitude final A_f = \tfrac{1}{4}A_0.
  • Amplitude perdida:
\Delta A = A_0 - A_f = A_0 - \frac{1}{4}A_0 = \frac{3}{4}A_0.
  • Em percentual, \Delta A é 75\% de A_0:
\frac{\Delta A}{A_0}\times100\% = 75\%.

Passo 8

Breve verificação de consistência (sanity check, rápido e útil para a prova):
  • Frequência angular amortecida aproximada a partir de T':
\omega_d = \frac{2\pi}{T'} \approx \frac{2\pi}{0{,}1144} \approx 54{,}93\\ \mathrm{rad\\ s^{-1}}.
  • Comparando \gamma \approx 0{,}224\\ \mathrm{s^{-1}} com \omega_d, temos \gamma \ll \omega_d, o que garante regime subamortecido e que as fórmulas A(t)=A_0 e^{-\gamma t} e E(t)=E_0 e^{-2\gamma t} são apropriadas. Isso dá confiança nos resultados numéricos.

Resposta

(a) b \approx 0{,}896\\ \mathrm{kg\\ s^{-1}}
(b) t \approx 6{,}18\\ \mathrm{s}
(c) \Delta E = \dfrac{15}{16}E_0 \approx 0{,}9375\,E_0 (ou 93{,}75\% de E_0)
(d) \Delta A = \dfrac{3}{4}A_0 = 0{,}75\,A_0

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