Em um oscilador massa mola amortecido, um corpo de
oscila preso a uma mola, com
. Calcular: a) a constante de amortecimento do sistema se a energia diminui de
por período; b) o tempo para que a amplitude das oscilações caia para
da inicial; c) a energia perdida (dissipada) até esse instante; d) a amplitude perdida até esse instante.
Passo 1
O enunciado dá um oscilador massa-mola amortecido e pede quatro coisas. Dados e perguntas listados claramente:
- Massa do corpo:
. - Período amortecido medido:
. - Informação sobre a energia: a energia do sistema diminui
a cada período (isto é, após um período a energia vale da anterior). - Pedidos:
a) Calcular a constante de amortecimento do sistema (coeficiente viscóseono termo ).
b) Calcular o tempo necessário para que a amplitude das oscilações caia parada amplitude inicial.
c) Calcular a energia perdida (dissipada) até esse instante (quando a amplitude forda inicial).
d) Calcular a amplitude perdida até esse instante.
Observação importante: o enunciado não fornece a amplitude inicial
nem a energia inicial
. Portanto, respostas para (c) e (d) serão expressas em função de
e
, respectivamente, ou em frações/percentuais.
Passo 2
Modelagem e relações úteis (explicação didática dos conceitos usados):
- Equação de movimento para amortecimento viscoso (uma forma padrão):
onde:
-
é a taxa de amortecimento (com unidades ); ela está relacionada ao coeficiente pela relação que vamos apresentar em seguida. -
é a frequência angular natural (do sistema sem amortecimento). -
Força viscosa linear:
. Relacionando com a equação acima, para um sistema massa-mola:
Explicação: ao escrever a força de amortecimento proporcional à velocidade como
e dividir tudo por
, surge um termo
; convencionamos escrever esse termo como
, daí
.
- Com amortecimento leve (subamortecido), a amplitude decai exponencialmente:
onde
é a amplitude inicial. Como a energia potencial máxima (e a energia total média) é proporcional ao quadrado da amplitude, a energia decai como:
Explicação: energia elástica máxima
, então ao quadrado do fator exponencial vem
.
Passo 3
Usar a condição “a energia diminui de
por período” para encontrar
:
- Em um período amortecido
a energia sofre fator :
- Dividindo por
e isolando :
- Logo:
Agora substituímos numericamente
:
- Primeiro calcule
. Um valor numérico:
- Então
Interpretação rápida:
é relativamente pequeno comparado à frequência angular (verificação rápida em passos seguintes), o que confirma que o regime é subamortecido e as fórmulas usadas são consistentes.
Passo 4
Calcular a constante de amortecimento
(pedida em (a)) usando
:
- Com
e :
Arredondando de modo razoável para três algarismos significativos:
Passo 5
Resolver (b): tempo para a amplitude cair para
da inicial.
- A relação de decaimento da amplitude é:
Queremos
. Então:
- Isolando
:
- Substituindo
e :
Portanto o tempo pedido é aproximadamente
.
Passo 6
Resolver (c): energia perdida até esse instante.
- Energia final quando
caiu para é
- Energia dissipada (perdida) até esse instante:
- Em percentual, isso corresponde a
Observação: como
não foi dado, a resposta fica em função de
:
.
Passo 7
Resolver (d): amplitude perdida até esse instante.
- Amplitude inicial
, amplitude final . - Amplitude perdida:
- Em percentual,
é de :
Passo 8
Breve verificação de consistência (sanity check, rápido e útil para a prova):
- Frequência angular amortecida aproximada a partir de
:
- Comparando
com , temos , o que garante regime subamortecido e que as fórmulas e são apropriadas. Isso dá confiança nos resultados numéricos.
Resposta
(a)
(b)
(c) (ou
de
)
(d)
(b)
(c)
(d)