A intensidade de uma onda sonora a uma distância fixa de um alto-falante que vibra a 1,00 \mathrm{kHz} é 0,600 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}. (a) Determine a intensidade resultante se a frequência for aumentada para 2,50 \mathrm{kHz}, enquanto uma amplitude de deslocamento constante é mantida. (b) Calcule a intensidade se a frequência for reduzida para 0,500 \mathrm{kHz} e a amplitude de deslocamento, dobrada.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Dado: a intensidade a uma distância fixa é \,0,600\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2 quando a frequência do alto-falante é \,1,00\\ \mathrm{kHz}.
    Ou seja, \;I_1 = 0,600\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2 e \;f_1 = 1,00\\ \mathrm{kHz}.
  • Pergunta (a): determinar a intensidade resultante quando a frequência é aumentada para \,2,50\\ \mathrm{kHz} mantendo a amplitude de deslocamento constante. Ou seja, \;f_2 = 2,50\\ \mathrm{kHz} e \;s_2 = s_1.
  • Pergunta (b): calcular a intensidade quando a frequência é reduzida para \,0,500\\ \mathrm{kHz} e a amplitude de deslocamento é dobrada. Ou seja, \;f_3 = 0,500\\ \mathrm{kHz} e \;s_3 = 2\,s_1.
Nada mais é fornecido; vamos usar relações físicas entre intensidade, frequência e amplitude para encontrar as respostas.

Passo 2

Fórmula que usaremos e significado das variáveis.
Para uma onda sonora senoidal viajando num meio homogêneo, a intensidade média (energia por unidade de área por unidade de tempo) associada ao movimento oscilatório de partículas pode ser escrita como
I = \tfrac{1}{2}\,\rho\,v\,\omega^{2}\,s_{m}^{2}.
Aqui:
  • \rho é a densidade do meio (kg/m³).
  • v é a velocidade da onda sonora no meio (m/s).
  • \omega é a frequência angular da oscilação, dada por \omega = 2\pi f (rad/s).
  • s_{m} é a amplitude do deslocamento das partículas (m).
  • I é a intensidade média (W/m²).
Observações importantes e didáticas:
  • A expressão mostra que I é proporcional a \omega^{2} e a s_{m}^{2}.
  • Como \omega = 2\pi f, temos \omega^{2} = (2\pi)^{2} f^{2}. Assim a intensidade é proporcional a f^{2} s_{m}^{2}:
I \propto f^{2}\,s_{m}^{2}.
  • A constante de proporcionalidade \tfrac{1}{2}\rho v (2\pi)^{2} contém propriedades do meio (densidade e velocidade) que não nos são dadas, mas elas são as mesmas para todas as situações do enunciado (mesmo meio e mesma distância). Por isso podemos eliminar essa constante formando razões entre intensidades.

Passo 3

Montando a razão entre intensidades (estratégia para não precisar conhecer \rho e v):
Se I \propto f^{2} s_{m}^{2}, então para dois estados quaisquer:
\frac{I_2}{I_1} = \left(\frac{f_2}{f_1}\right)^{2}\left(\frac{s_2}{s_1}\right)^{2}.
Essa fórmula é direta: ao comparar duas situações no mesmo meio, os fatores constantes se cancelam e resta apenas a razão dos quadrados de frequência e amplitude.

Passo 4

Resolvendo (a): frequência aumentada para \,2,50\\ \mathrm{kHz} com amplitude constante ( s_2/s_1 = 1).
Aplicando a fórmula das razões:
\frac{I_2}{I_1} = \left(\frac{f_2}{f_1}\right)^{2}\left(\frac{s_2}{s_1}\right)^{2} = \left(\frac{2,50}{1,00}\right)^{2}\cdot 1^{2}.
Calculemos passo a passo:
\left(\frac{2,50}{1,00}\right)^{2} = (2,50)^{2} = 6,25.
Portanto
I_2 = I_1 \times 6,25 = 0,600\times 6,25.
Multiplicando:
0,600\times 6,25 = 3,75.
Assim,
I_2 = 3,75\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.

Passo 5

Comentário didático curto (ajuda a entender o resultado): aumentar a frequência por um fator 2,5 aumenta \omega por 2,5 e, por causa do quadrado, a intensidade por 2{,}5^{2}=6{,}25. Como a amplitude não mudou, a única contribuição é esse aumento por f^{2}.

Passo 6

Resolvendo (b): frequência reduzida para \,0,500\\ \mathrm{kHz} e amplitude dobrada ( s_3/s_1 = 2).
Usamos a mesma relação:
\frac{I_3}{I_1} = \left(\frac{f_3}{f_1}\right)^{2}\left(\frac{s_3}{s_1}\right)^{2} = \left(\frac{0,500}{1,00}\right)^{2}\cdot (2)^{2}.
Calculemos as partes:
\left(\frac{0,500}{1,00}\right)^{2} = (0,500)^{2} = 0,250^{?}\\ \text{(corrigindo: \(0,500^{2}=0,250\))} = 0,250.
E
(2)^{2} = 4.
Multiplicando:
\frac{I_3}{I_1} = 0,250\times 4 = 1,00.
Portanto
I_3 = I_1 \times 1,00 = 0,600\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.

Passo 7

Verificação e intuição rápida: reduzir a frequência para metade (fator 0{,}5) daria uma redução de intensidade por 0{,}5^{2}=0{,}25. Dobrar a amplitude dá aumento por 2^{2}=4. O produto 0{,}25\times 4 =1 cancela as mudanças, deixando a intensidade igual à original. Legal — a amplitude quadrática e a frequência quadrática podem se compensar.

Resposta

(a) I_2 = 3,75\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2
(b) I_3 = 0,600\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2

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