A intensidade de uma onda sonora a uma distância fixa de um alto-falante que vibra a
é
. (a) Determine a intensidade resultante se a frequência for aumentada para
, enquanto uma amplitude de deslocamento constante é mantida. (b) Calcule a intensidade se a frequência for reduzida para
e a amplitude de deslocamento, dobrada.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte:
- Dado: a intensidade a uma distância fixa é
quando a frequência do alto-falante é .
Ou seja,e - Pergunta (a): determinar a intensidade resultante quando a frequência é aumentada para
mantendo a amplitude de deslocamento constante. Ou seja, e - Pergunta (b): calcular a intensidade quando a frequência é reduzida para
e a amplitude de deslocamento é dobrada. Ou seja, e
Nada mais é fornecido; vamos usar relações físicas entre intensidade, frequência e amplitude para encontrar as respostas.
Passo 2
Fórmula que usaremos e significado das variáveis.
Para uma onda sonora senoidal viajando num meio homogêneo, a intensidade média (energia por unidade de área por unidade de tempo) associada ao movimento oscilatório de partículas pode ser escrita como
Aqui:
-
é a densidade do meio (kg/m³). -
é a velocidade da onda sonora no meio (m/s). -
é a frequência angular da oscilação, dada por (rad/s). -
é a amplitude do deslocamento das partículas (m). -
é a intensidade média (W/m²).
Observações importantes e didáticas:
- A expressão mostra que
é proporcional a e a . - Como
, temos . Assim a intensidade é proporcional a :
- A constante de proporcionalidade
contém propriedades do meio (densidade e velocidade) que não nos são dadas, mas elas são as mesmas para todas as situações do enunciado (mesmo meio e mesma distância). Por isso podemos eliminar essa constante formando razões entre intensidades.
Passo 3
Montando a razão entre intensidades (estratégia para não precisar conhecer
e
):
Se
, então para dois estados quaisquer:
Essa fórmula é direta: ao comparar duas situações no mesmo meio, os fatores constantes se cancelam e resta apenas a razão dos quadrados de frequência e amplitude.
Passo 4
Resolvendo (a): frequência aumentada para
com amplitude constante (
).
Aplicando a fórmula das razões:
Calculemos passo a passo:
Portanto
Multiplicando:
Assim,
Passo 5
Comentário didático curto (ajuda a entender o resultado): aumentar a frequência por um fator 2,5 aumenta
por 2,5 e, por causa do quadrado, a intensidade por
. Como a amplitude não mudou, a única contribuição é esse aumento por
.
Passo 6
Resolvendo (b): frequência reduzida para
e amplitude dobrada (
).
Usamos a mesma relação:
Calculemos as partes:
E
Multiplicando:
Portanto
Passo 7
Verificação e intuição rápida: reduzir a frequência para metade (fator
) daria uma redução de intensidade por
. Dobrar a amplitude dá aumento por
. O produto
cancela as mudanças, deixando a intensidade igual à original. Legal — a amplitude quadrática e a frequência quadrática podem se compensar.
Resposta
(a)
(b)
(b)