1. Durante o teste de uma bomba centrifuga, um manômetro de Bourdon, colocado na parte externa de um tubo de sucção com diâmetro de 12 in, mostra uma pressão de -6 psig (isto é, vácuo). No tubo de descarga, de diâmetro igual a 10 in , outro manômetro mostra uma pressāo de 40 psig. O tubo de descarga está 5 ft acima do tubo de sucção. A vazảo de descarga da água na bomba é 4 \mathrm{ft}^{3} / \mathrm{s}. Determine a potência da bomba.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que foi fornecido):
  • Diâmetro do tubo de sucção: \,D_1 = 12\\ \text{in} = 1{,}0\\ \text{ft}.
  • Pressão indicada no manômetro da sucção: \,p_1 = -6\\ \text{psig} (ou seja, vácuo relativo a atmosfera).
  • Diâmetro do tubo de descarga: \,D_2 = 10\\ \text{in} = \dfrac{10}{12}\\ \text{ft} \approx 0{,}83333\\ \text{ft}.
  • Pressão indicada no manômetro da descarga: \,p_2 = 40\\ \text{psig}.
  • Diferença de elevação: a descarga está \,z_2 - z_1 = 5\\ \text{ft} acima da sucção.
  • Vazão de descarga da água: \,Q = 4\\ \text{ft}^3/\text{s}.
O que é pedido:
  • Determinar a potência da bomba (ou seja, a potência hidráulica fornecida à água pela bomba).
    Observação: nenhum atrito ou perdas internas foram fornecidos no enunciado; assumiremos que são negligenciáveis (explicarei isso quando aplicar a equação de energia).

Passo 2

Primeiro calculamos as áreas das seções transversais dos tubos para obter as velocidades a partir de \,Q = A v.
A fórmula da área de um círculo é \,A = \dfrac{\pi D^2}{4}. Assim:
A_1 = \frac{\pi D_1^2}{4} = \frac{\pi (1{,}0)^2}{4} = \frac{\pi}{4}\\ \text{ft}^2 \approx 0{,}785398\\ \text{ft}^2.
A_2 = \frac{\pi D_2^2}{4} = \frac{\pi \left(\dfrac{10}{12}\right)^2}{4} = \frac{25\pi}{144}\\ \text{ft}^2 \approx 0{,}545415\\ \text{ft}^2.
Explicação didática curta: a área serve para transformar vazão volumétrica \,Q em velocidade média \,v pelo resultado direto v=Q/A. Nada de segredo — só dividir.

Passo 3

Calculemos as velocidades médias nos dois tubos usando \,v = Q/A.
v_1 = \frac{Q}{A_1} = \frac{4}{\pi/4} = \frac{16}{\pi} \approx 5{,}09296\\ \text{ft/s}.
v_2 = \frac{Q}{A_2} = \frac{4}{25\pi/144} = \frac{576}{25\pi} \approx 7{,}33496\\ \text{ft/s}.
Dica prática: se vir \pi/4 no denominador, às vezes simplifica-se a conta como fiz para v_1.

Passo 4

Agora vamos calcular as “alturas de velocidade” (velocity heads) que aparecem na equação de energia: \dfrac{v^2}{2g}. Usamos g = 32{,}174\\ \text{ft/s}^2.
\frac{v_1^2}{2g} = \frac{(5{,}09296)^2}{2\cdot32{,}174} \approx \frac{25{,}944}{64{,}348} \approx 0{,}4033\\ \text{ft}.
\frac{v_2^2}{2g} = \frac{(7{,}33496)^2}{2\cdot32{,}174} \approx \frac{53{,}763}{64{,}348} \approx 0{,}8357\\ \text{ft}.
Explicação didática: \dfrac{v^2}{2g} é a maneira de expressarmos a energia cinética por unidade de peso do fluido — dá um “comprimento” (em pés) equivalente à energia cinética. Na hora da prova, calcule v^2, divida por 2g.

Passo 5

Transformar as pressões em “alturas de pressão” (pressure heads). Primeiro convertemos as pressões de \,\text{psi} para \,\text{lb}_f/\text{ft}^2 (1 psi = 144 lb_f/ft^2), depois dividimos pela massa específica linear (peso específico) \gamma da água para obter a cabeça:
Usaremos para água à temperatura ambiente \,\gamma = 62{,}4\\ \text{lb}_f/\text{ft}^3.
p_1 = -6\\ \text{psi} = -6\cdot144 = -864\\ \text{lb}_f/\text{ft}^2.
p_2 = 40\\ \text{psi} = 40\cdot144 = 5760\\ \text{lb}_f/\text{ft}^2.
Agora as alturas correspondentes:
\frac{p_1}{\gamma} = \frac{-864}{62{,}4} \approx -13{,}84615\\ \text{ft}.
\frac{p_2}{\gamma} = \frac{5760}{62{,}4} \approx 92{,}30769\\ \text{ft}.
Interpretação: essas expressões dão quantos pés de coluna de água correspondem à pressão medida. Note o sinal negativo em \dfrac{p_1}{\gamma} porque p_1 é vácuo relativo.

Passo 6

Aplicamos a equação de energia (Bernoulli com adição de energia pela bomba). Em forma de cabeça (altura), e assumindo perdas por atrito desprezíveis, a cabeça adicionada pela bomba H_{b} é:
H_{b} = \left(\frac{p_2}{\gamma} + \frac{v_2^2}{2g} + z_2\right) - \left(\frac{p_1}{\gamma} + \frac{v_1^2}{2g} + z_1\right).
Isso significa: cabeça de pressão + cabeça cinética + elevação no ponto 2 menos o mesmo conjunto no ponto 1. Substituindo os números (e lembrando que z_2 - z_1 = 5\\ \text{ft}):
H_{b} = \left(92{,}30769 + 0{,}8357 + z_2\right) - \left(-13{,}84615 + 0{,}4033 + z_1\right).
Como z_2 - z_1 = 5\\ \text{ft}, isso simplifica para:
H_{b} = (92{,}30769 - (-13{,}84615)) + (0{,}8357 - 0{,}4033) + 5.
Agora a conta:
H_{b} \approx 106{,}15385 + 0{,}4324 + 5 = 111{,}5863\\ \text{ft}.
Comentário didático: essa é a cabeça que a bomba precisa fornecer para elevar a água da condição 1 à condição 2 (levando em conta pressão, velocidade e elevação). Note que a contribuição das velocidades é pequena aqui comparada à pressão.

Passo 7

A potência hidráulica fornecida pela bomba (potência útil para o fluido) é:
P = \gamma \, Q \, H_{b}.
Usando \gamma = 62{,}4\\ \text{lb}_f/\text{ft}^3, \,Q = 4\\ \text{ft}^3/\text{s} e \,H_{b} \approx 111{,}5863\\ \text{ft}:
P = 62{,}4 \cdot 4 \cdot 111{,}5863 \approx 27{,}851{,}94\\ \text{ft}\cdot\text{lb}_f/\text{s}.
Para expressar em cavalos-vapor ( \text{hp}) usamos 1\\ \text{hp} = 550\\ \text{ft}\cdot\text{lb}_f/\text{s}:
P_{\text{hp}} = \frac{27{,}851{,}94}{550} \approx 50{,}6399\\ \text{hp} \approx 50{,}64\\ \text{hp}.
Se preferir em quilowatts, 1\\ \text{hp} \approx 0{,}745699\\ \text{kW}:
P_{\text{kW}} \approx 50{,}6399 \cdot 0{,}745699 \approx 37{,}77\\ \text{kW}.
Observações finais:
  • Assumi perdas por atrito e perdas locais desprezíveis (se existirem, a potência real necessária à bomba seria maior).
  • Usei \gamma = 62{,}4\\ \text{lb}_f/\text{ft}^3 e g = 32{,}174\\ \text{ft/s}^2, valores usuais para água em problemas de engenharia.

Resposta

P \approx 50{,}64\\ \text{hp} \approx 37{,}77\\ \text{kW}

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