Durante os testes de estresse em um sistema de análise de dados na nuvem, registra-se a porcentagem de uso da memória RAM durante um processo intensivo de execução. A variação no uso da RAM é modelada pela seguinte função densidade de probabilidade:
f(x)= \begin{cases}\frac{x}{9} & \text { se } 0<x \leq 3 \\\ \frac{6-x}{9} & \text { se } 3<x<6 \\\\ 0 & \text { em outro caso }\end{cases}
Onde x representa a porcentagem do uso da CPU durante um ciclo de teste.
Calcular, indicando passo a passo o procedimento para chegar à resposta:
P(1<X \leq 4).

Passo 1

O enunciado fornece a função densidade de probabilidade
f(x)= \begin{cases}\frac{x}{9} & \text{se } 0<x \leq 3,\\[4pt] \frac{6-x}{9} & \text{se } 3<x<6,\\[4pt] 0 & \text{em outro caso.}\end{cases}
Onde \,x\, representa a porcentagem de uso da CPU. A pergunta que precisamos responder é: calcular \;P(1<X\leq 4).
Informações relevantes dadas:
  • A densidade é definida por partes, com mudança em x=3.
  • O intervalo de interesse (1,4] atravessa o ponto x=3, portanto teremos de usar as duas expressões da densidade em partes diferentes do intervalo.]

Passo 2

Conceito-chave (aula rápida): para uma variável aleatória contínua com densidade f(x), a probabilidade de que X caia entre a e b é dada por
P(a<X\le b)=\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Observação útil: em variáveis contínuas, incluir ou não os extremos (por exemplo < vs \le) não altera a probabilidade, porque pontos isolados têm medida zero.

Passo 3

Como f(x) muda em x=3 e o intervalo pedido é (1,4], dividimos a integral em duas partes:
P(1<X\le 4)=\int_{1}^{3}\frac{x}{9}\,dx+\int_{3}^{4}\frac{6-x}{9}\,dx.
Agora vamos calcular cada integral separadamente, explicando as antiderivadas passo a passo.

Passo 4

Calcular \displaystyle \int_{1}^{3}\frac{x}{9}\,dx.
Passos:
  1. Factorizamos a constante: \displaystyle \int_{1}^{3}\frac{x}{9}\,dx=\frac{1}{9}\int_{1}^{3}x\,dx.
  2. Antiderivada de x é \dfrac{x^{2}}{2}. Logo a antiderivada da integranda é \dfrac{1}{9}\cdot\dfrac{x^{2}}{2}=\dfrac{x^{2}}{18}.
  3. Avaliamos entre 1 e 3:
\left.\dfrac{x^{2}}{18}\right|_{1}^{3}=\dfrac{3^{2}}{18}-\dfrac{1^{2}}{18}=\dfrac{9}{18}-\dfrac{1}{18}=\dfrac{8}{18}=\dfrac{4}{9}.
Portanto a primeira integral vale \dfrac{4}{9}.

Passo 5

Calcular \displaystyle \int_{3}^{4}\frac{6-x}{9}\,dx.
Passos:
  1. Factorizamos a constante: \displaystyle \int_{3}^{4}\frac{6-x}{9}\,dx=\frac{1}{9}\int_{3}^{4}(6-x)\,dx.
  2. Antiderivada de 6-x é 6x-\dfrac{x^{2}}{2}. Multiplicando pela constante temos antiderivada \dfrac{6x-\tfrac{x^{2}}{2}}{9}.
  3. Avaliamos entre 3 e 4:
\left.\dfrac{6x-\tfrac{x^{2}}{2}}{9}\right|_{3}^{4} = \dfrac{6\cdot 4 - \tfrac{4^{2}}{2}}{9} - \dfrac{6\cdot 3 - \tfrac{3^{2}}{2}}{9}.
Calcule cada termo:
\frac{6\cdot 4 - \tfrac{16}{2}}{9}=\frac{24-8}{9}=\frac{16}{9}, \qquad \frac{6\cdot 3 - \tfrac{9}{2}}{9}=\frac{18-\tfrac{9}{2}}{9}=\frac{\tfrac{36-9}{2}}{9}=\frac{\tfrac{27}{2}}{9}=\frac{27}{18}=\frac{3}{2}.
  1. Subtraindo:
\frac{16}{9}-\frac{3}{2}=\frac{32}{18}-\frac{27}{18}=\frac{5}{18}.
Portanto a segunda integral vale \dfrac{5}{18}.

Passo 6

Somamos as duas partes para obter a probabilidade total:
P(1<X\le 4)=\frac{4}{9}+\frac{5}{18}.
Colocando no mesmo denominador:
\frac{4}{9}=\frac{8}{18},\quad \frac{8}{18}+\frac{5}{18}=\frac{13}{18}.
Em forma decimal aproximada isso é \approx 0{,}7222. Ótimo — conseguimos!

Resposta

\dfrac{13}{18}

Exercícios relacionados