Considere um gás tridimensional de bósons onde a energia de uma partícula é dada por \varepsilon=p^{\alpha}, sendo p o valor absoluto do momento e \alpha>0. Usando o formalismo dos gases quânticos ideais com um espectro contínuo de energia, mostre que a relação entre a pressão e a energia interna é:
P V=\frac{\alpha}{3} U

Passo 1

O enunciado dá um gás tridimensional de bósons com espectro contínuo e energia de cada partícula dada por \varepsilon=p^{\alpha}, onde p é o módulo do momento e \alpha>0. Ele pede para mostrar a relação entre pressão P, volume V e energia interna U:
P V=\frac{\alpha}{3} U.
Informações relevantes fornecidas e que vou usar explicitamente:
  • energia de uma partícula: \varepsilon(p)=p^{\alpha};
  • gás tridimensional, isotrópico (nenhuma direção preferencial no espaço de momentos);
  • espectro contínuo — vou trabalhar com integrais em espaço de momento usando a densidade de estados no espaço de momento;
  • ocupação estatística apropriada para bósons é dada pela distribuição de Bose–Einstein, que vou denotar por n(\varepsilon)=\dfrac{1}{e^{\beta(\varepsilon-\mu)}-1} (não precisarei usar explicitamente \beta nem \mu para provar a identidade, apenas a forma funcional de n);
  • definição da energia interna U como integral sobre momentos do produto energia × ocupação.

Passo 2

Vou escrever as expressões em contínuo com a densidade de estados no espaço de momento. A densidade de estados por volume físico no espaço de momento é
\frac{1}{(2\pi\hbar)^3},
logo o número de estados em um elemento de volume de momento d^3p dentro de um volume físico V é
\frac{V}{(2\pi\hbar)^3}\,d^3p.
A ocupação média por estado (Bose–Einstein) é
n(\varepsilon)=\frac{1}{e^{\beta(\varepsilon-\mu)}-1},
portanto a densidade de partículas no elemento d^3p é
\frac{V}{(2\pi\hbar)^3}n(\varepsilon)\,d^3p.

Passo 3

Escrevo a energia interna U como integral sobre momentos: somamos a energia \varepsilon(p) multiplicada pela ocupação de cada estado e pela densidade de estados:
U=\int \varepsilon(p)\; \frac{V}{(2\pi\hbar)^3}\; n(\varepsilon(p))\; d^3p.
Esta é a definição usual: energia total é a soma (aqui integral) de energia por estado vezes número médio de partículas nesse estado.

Passo 4

Agora explico a expressão para a pressão usando argumento de fluxo de momento (kinetic/estatístico). A pressão P pode ser vista como fluxo de momento normal por unidade de área; para um conjunto de partículas isotrópicas em 3D resulta a fórmula
P=\frac{1}{3V}\int p\,v(p)\; \frac{V}{(2\pi\hbar)^3}\; n(\varepsilon(p))\; d^3p.
Justificativa do fator 1/3: para uma distribuição isotrópica, a componente média p_x v_x é \tfrac{1}{3} p v, porque ao dividir o vetor \mathbf p e \mathbf v nas três direções cartesianas a contribuição média de cada direção é igual e \langle\cos^2\theta\rangle=1/3. Assim a pressão (média das componentes normais do stress) fica com o fator 1/3. Observe que a densidade de estados V/(2\pi\hbar)^3 aparece também aqui, exatamente como em U.

Passo 5

Ligo a expressão da pressão com a energia usando a relação entre velocidade e dispersão. A velocidade de grupo associada ao momento p é
v(p)=\frac{d\varepsilon}{dp}.
Para o caso dado \varepsilon(p)=p^{\alpha} temos
\frac{d\varepsilon}{dp}=\alpha p^{\alpha-1}.
Multiplicando p por v(p) obtemos
p\,v(p)=p\cdot\alpha p^{\alpha-1}=\alpha p^{\alpha}=\alpha\varepsilon(p).

Passo 6

Substituo p\,v(p)=\alpha\varepsilon(p) na expressão para P. Assim
P=\frac{1}{3V}\int p\,v(p)\; \frac{V}{(2\pi\hbar)^3}\; n(\varepsilon(p))\; d^3p =\frac{1}{3V}\int \alpha\varepsilon(p)\; \frac{V}{(2\pi\hbar)^3}\; n(\varepsilon(p))\; d^3p.
Factorizando \alpha e cancelando o V que aparece dentro da densidade de estados com o 1/V em frente, obtemos
P=\frac{\alpha}{3V}\int \varepsilon(p)\; \frac{V}{(2\pi\hbar)^3}\; n(\varepsilon(p))\; d^3p.
Mas a integral que aparece é exatamente a definição de U que escrevemos no Passo 3. Portanto
P=\frac{\alpha}{3V}\;U.

Passo 7

Multiplicando ambos os lados por V chegamos à relação desejada:
P V=\frac{\alpha}{3} U.
Comentário final rápido: note que nesta prova não precisei da forma explícita da distribuição além de sua dependência apenas de \varepsilon (e da isotropia), nem precisei calcular integrais complicadas — a identidade vem da relação mecânica entre p, v e \varepsilon para a dispersão \varepsilon\propto p^{\alpha} e do fato de que tanto P quanto U são integrais sobre a mesma densidade de estados.

Resposta

P V=\dfrac{\alpha}{3} U

Exercícios relacionados