Considere um gás tridimensional de bósons onde a energia de uma partícula é dada por
, sendo
o valor absoluto do momento e
. Usando o formalismo dos gases quânticos ideais com um espectro contínuo de energia, mostre que a relação entre a pressão e a energia interna é:
Passo 1
O enunciado dá um gás tridimensional de bósons com espectro contínuo e energia de cada partícula dada por
, onde
é o módulo do momento e
. Ele pede para mostrar a relação entre pressão
, volume
e energia interna
:
Informações relevantes fornecidas e que vou usar explicitamente:
- energia de uma partícula:
; - gás tridimensional, isotrópico (nenhuma direção preferencial no espaço de momentos);
- espectro contínuo — vou trabalhar com integrais em espaço de momento usando a densidade de estados no espaço de momento;
- ocupação estatística apropriada para bósons é dada pela distribuição de Bose–Einstein, que vou denotar por
(não precisarei usar explicitamente nem para provar a identidade, apenas a forma funcional de ); - definição da energia interna
como integral sobre momentos do produto energia × ocupação.
Passo 2
Vou escrever as expressões em contínuo com a densidade de estados no espaço de momento. A densidade de estados por volume físico no espaço de momento é
logo o número de estados em um elemento de volume de momento
dentro de um volume físico
é
A ocupação média por estado (Bose–Einstein) é
portanto a densidade de partículas no elemento
é
Passo 3
Escrevo a energia interna
como integral sobre momentos: somamos a energia
multiplicada pela ocupação de cada estado e pela densidade de estados:
Esta é a definição usual: energia total é a soma (aqui integral) de energia por estado vezes número médio de partículas nesse estado.
Passo 4
Agora explico a expressão para a pressão usando argumento de fluxo de momento (kinetic/estatístico). A pressão
pode ser vista como fluxo de momento normal por unidade de área; para um conjunto de partículas isotrópicas em 3D resulta a fórmula
Justificativa do fator
: para uma distribuição isotrópica, a componente média
é
, porque ao dividir o vetor
e
nas três direções cartesianas a contribuição média de cada direção é igual e
. Assim a pressão (média das componentes normais do stress) fica com o fator
. Observe que a densidade de estados
aparece também aqui, exatamente como em
.
Passo 5
Ligo a expressão da pressão com a energia usando a relação entre velocidade e dispersão. A velocidade de grupo associada ao momento
é
Para o caso dado
temos
Multiplicando
por
obtemos
Passo 6
Substituo
na expressão para
. Assim
Factorizando
e cancelando o
que aparece dentro da densidade de estados com o
em frente, obtemos
Mas a integral que aparece é exatamente a definição de
que escrevemos no Passo 3. Portanto
Passo 7
Multiplicando ambos os lados por
chegamos à relação desejada:
Comentário final rápido: note que nesta prova não precisei da forma explícita da distribuição além de sua dependência apenas de
(e da isotropia), nem precisei calcular integrais complicadas — a identidade vem da relação mecânica entre
,
e
para a dispersão
e do fato de que tanto
quanto
são integrais sobre a mesma densidade de estados.