O hélio sólido pode ser fabricado somente por pressurização do hélio líquido a uma temperatura muito baixa. Sua temperatura de Debye é da ordem de
como determinado por medidas da capacidade térmica. Se a separação entre partículas é
, determine a velociade do som
nesse material. Compare seu resultado com a velocidade do som no ar (
), para observar uma anomalia associada ao hélio sólido. Geralmente a velocidade do som na maioria dos sólidos é maior do que a velocidade do som no ar. Adote
e
Valor: 2,5
Valor: 2,5
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
-
Dados fornecidos:
- Temperatura de Debye:
. - Separação entre partículas:
. - Constantes:
e . - Velocidade do som no ar para comparação:
.
- Temperatura de Debye:
-
O que o problema pede:
- Determinar a velocidade do som
no hélio sólido usando os dados acima. - Comparar o resultado com
e observar a anomalia associada.
- Determinar a velocidade do som
Passo 2
Entendendo a teoria (aulas rápidas e práticas): o que é a temperatura de Debye e como ela se relaciona com a velocidade do som.
- A temperatura de Debye
é definida pela energia quântica máxima dos modos vibracionais (modo de Debye) através de
onde
-
é a constante de Boltzmann, -
é a constante reduzida de Planck, -
é a frequência de Debye (frequência máxima no modelo de Debye). -
No modelo de Debye, assume-se que as ondas elásticas têm dispersão acústica linear até um certo
máximo (o chamado ), isto é,
onde
-
é uma velocidade média do som no sólido (combinação dos modos longitudinal e transversais), -
é o vetor de onda de Debye (um corte que garante o número correto de modos vibracionais). -
Combinando as duas relações acima obtemos a fórmula prática para
:
Vou agora mostrar como obter
a partir da separação
.
Passo 3
Como calcular
a partir de
.
- O número de partículas por volume (densidade de número) é
. Como dado , temos
- No modelo de Debye em 3 dimensões o corte em
-espaço é tal que o número total de modos acústicos coincide com os modos reais; isso leva à expressão
- Substituindo
temos
Isso é intuitivo:
é inversamente proporcional à distância intermolecular característica
, multiplicada por um fator numérico
.
Passo 4
Escrevendo a expressão final para
em termos de
e
.
- Substituindo
em obtemos
- Nesta expressão:
-
tem unidades de (frequência), -
tem unidades de comprimento, - o produto dá
em .
-
Agora vamos calcular numericamente, passo a passo (sem pular contas).
Passo 5
Cálculo numérico intermediário 1:
e divisão por
.
- Produto
- Dividindo por
:
(Expliquei: aqui estou convertendo a energia térmica em uma frequência característica usando
.)
Passo 6
Cálculo numérico intermediário 2: cálculo de
e do fator com
.
- Primeiro calcule
:
- Sua raiz cúbica:
- A distância
em metros:
- Então
Passo 7
Cálculo final de
juntando os dois fatores.
- Usando os resultados:
- Multiplicando:
- Em valor mais direto:
Passo 8
Interpretação física e comparação (tipo “por que isso é uma anomalia?” e verificação de aproximações).
- Comparação: a velocidade do som no ar é
. Nosso valor estimado para hélio sólido é
ou seja, ligeiramente menor que a do ar (cerca de
menor).
-
Por que isso é estranho (anomalia)? Normalmente a maioria dos sólidos tem velocidades do som muito maiores que a do ar (vários milhares de
), porque sólidos são muito rígidos (módulo elástico grande). No caso do hélio sólido há duas causas principais para a velocidade tão baixa: - As forças interatômicas de Van der Waals entre átomos de hélio são extremamente fracas, resultando em baixa rigidez (baixo módulo elástico).
- Apesar de hélio ser um átomo leve (o que por si tenderia a aumentar
), a rigidez baixa domina, reduzindo bastante .
-
Observação sobre aproximações: o cálculo usa o modelo de Debye (uma velocidade média, dispersão linear até
, e usa como comprimento característico). Há distinção entre velocidades longitudinal e transversais reais; o resultado é uma estimativa média — ainda assim consistente com a observação experimental de que hélio sólido tem velocidades de som muito baixas.