O hélio sólido pode ser fabricado somente por pressurização do hélio líquido a uma temperatura muito baixa. Sua temperatura de Debye é da ordem de T_{D}=30 K como determinado por medidas da capacidade térmica. Se a separação entre partículas é a \approx\left(\frac{V}{N}\right)^{\frac{1}{3}}=0,3 \mathrm{~nm}, determine a velociade do som c_{s} nesse material. Compare seu resultado com a velocidade do som no ar ( 330 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ), para observar uma anomalia associada ao hélio sólido. Geralmente a velocidade do som na maioria dos sólidos é maior do que a velocidade do som no ar. Adote k_{B}=1,38 \times 10^{-23} \frac{J}{K} e \hbar=1,054 \times 10^{-34} \mathrm{~J} . s
Valor: 2,5

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Dados fornecidos:
    • Temperatura de Debye: T_{D}=30\\ \mathrm{K}.
    • Separação entre partículas: a\approx\left(\frac{V}{N}\right)^{\frac{1}{3}}=0,3\\ \mathrm{nm}.
    • Constantes: k_{B}=1,38\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K} e \hbar=1,054\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
    • Velocidade do som no ar para comparação: 330\\ \mathrm{m/s}.
  • O que o problema pede:
    1. Determinar a velocidade do som c_{s} no hélio sólido usando os dados acima.
    2. Comparar o resultado com 330\\ \mathrm{m/s} e observar a anomalia associada.

Passo 2

Entendendo a teoria (aulas rápidas e práticas): o que é a temperatura de Debye e como ela se relaciona com a velocidade do som.
  • A temperatura de Debye T_{D} é definida pela energia quântica máxima dos modos vibracionais (modo de Debye) através de
k_{B}T_{D}=\hbar\omega_{D},
onde
  • k_{B} é a constante de Boltzmann,
  • \hbar é a constante reduzida de Planck,
  • \omega_{D} é a frequência de Debye (frequência máxima no modelo de Debye).
  • No modelo de Debye, assume-se que as ondas elásticas têm dispersão acústica linear até um certo k máximo (o chamado k_{D}), isto é,
\omega_{D}=c_{s}k_{D},
onde
  • c_{s} é uma velocidade média do som no sólido (combinação dos modos longitudinal e transversais),
  • k_{D} é o vetor de onda de Debye (um corte que garante o número correto de modos vibracionais).
  • Combinando as duas relações acima obtemos a fórmula prática para c_{s}:
c_{s}=\frac{k_{B}T_{D}}{\hbar k_{D}}.
Vou agora mostrar como obter k_{D} a partir da separação a.

Passo 3

Como calcular k_{D} a partir de a.
  • O número de partículas por volume (densidade de número) é n=\dfrac{N}{V}. Como dado a=\left(\dfrac{V}{N}\right)^{1/3}, temos
n=\frac{1}{a^{3}}.
  • No modelo de Debye em 3 dimensões o corte em k-espaço é tal que o número total de modos acústicos coincide com os modos reais; isso leva à expressão
k_{D}=(6\pi^{2}n)^{1/3}.
  • Substituindo n=1/a^{3} temos
k_{D}=(6\pi^{2})^{1/3}\frac{1}{a}.
Isso é intuitivo: k_{D} é inversamente proporcional à distância intermolecular característica a, multiplicada por um fator numérico (6\pi^{2})^{1/3}.

Passo 4

Escrevendo a expressão final para c_{s} em termos de T_{D} e a.
  • Substituindo k_{D} em c_{s}=\dfrac{k_{B}T_{D}}{\hbar k_{D}} obtemos
c_{s}=\frac{k_{B}T_{D}}{\hbar}\;\frac{1}{k_{D}}=\frac{k_{B}T_{D}}{\hbar}\;\frac{a}{(6\pi^{2})^{1/3}}.
  • Nesta expressão:
    • k_{B}T_{D}/\hbar tem unidades de \mathrm{s}^{-1} (frequência),
    • a/(6\pi^{2})^{1/3} tem unidades de comprimento,
    • o produto dá c_{s} em \mathrm{m/s}.
Agora vamos calcular numericamente, passo a passo (sem pular contas).

Passo 5

Cálculo numérico intermediário 1: k_{B}T_{D} e divisão por \hbar.
  • Produto
k_{B}T_{D}= (1,38\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K})\times(30\\ \mathrm{K})=4,14\times10^{-22}\\ \mathrm{J}.
  • Dividindo por \hbar:
\frac{k_{B}T_{D}}{\hbar}=\frac{4,14\times10^{-22}\\ \mathrm{J}}{1,054\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}} \approx 3,927\times10^{12}\\ \mathrm{s}^{-1}.
(Expliquei: aqui estou convertendo a energia térmica em uma frequência característica usando \hbar.)

Passo 6

Cálculo numérico intermediário 2: cálculo de (6\pi^{2})^{1/3} e do fator com a.
  • Primeiro calcule 6\pi^{2}:
6\pi^{2}\approx 59,2176.
  • Sua raiz cúbica:
(6\pi^{2})^{1/3}\approx 3,897.
  • A distância a em metros:
a=0,3\\ \mathrm{nm}=0,3\times10^{-9}\\ \mathrm{m}=3,0\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
  • Então
\frac{a}{(6\pi^{2})^{1/3}}=\frac{3,0\times10^{-10}\\ \mathrm{m}}{3,897}\approx 7,70\times10^{-11}\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Cálculo final de c_{s} juntando os dois fatores.
  • Usando os resultados:
c_{s}=\left(3,927\times10^{12}\\ \mathrm{s}^{-1}\right)\times\left(7,70\times10^{-11}\\ \mathrm{m}\right).
  • Multiplicando:
c_{s}\approx 3,02\times10^{2}\\ \mathrm{m/s}.
  • Em valor mais direto: c_{s}\approx 302\\ \mathrm{m/s}.

Passo 8

Interpretação física e comparação (tipo “por que isso é uma anomalia?” e verificação de aproximações).
  • Comparação: a velocidade do som no ar é 330\\ \mathrm{m/s}. Nosso valor estimado para hélio sólido é
c_{s}\approx 302\\ \mathrm{m/s},
ou seja, ligeiramente menor que a do ar (cerca de 8\% menor).
  • Por que isso é estranho (anomalia)? Normalmente a maioria dos sólidos tem velocidades do som muito maiores que a do ar (vários milhares de \mathrm{m/s}), porque sólidos são muito rígidos (módulo elástico grande). No caso do hélio sólido há duas causas principais para a velocidade tão baixa:
    1. As forças interatômicas de Van der Waals entre átomos de hélio são extremamente fracas, resultando em baixa rigidez (baixo módulo elástico).
    2. Apesar de hélio ser um átomo leve (o que por si tenderia a aumentar c_{s}), a rigidez baixa domina, reduzindo bastante c_{s}.
  • Observação sobre aproximações: o cálculo usa o modelo de Debye (uma velocidade média, dispersão linear até k_{D}, e usa a como comprimento característico). Há distinção entre velocidades longitudinal e transversais reais; o resultado é uma estimativa média — ainda assim consistente com a observação experimental de que hélio sólido tem velocidades de som muito baixas.

Resposta

c_{s}\approx 3,02\times10^{2}\\ \mathrm{m/s}
c_{s} é menor que a velocidade do som no ar ( 330\\ \mathrm{m/s}); portanto há a anomalia de o hélio sólido ter velocidade do som inferior à do ar.

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