Durante os testes de estresse em um sistema de análise de dados na nuvem, registra-se a porcentagem de uso da memória RAM durante um processo intensivo de execução. A variação no uso da RAM é modelada pela seguinte função densidade de probabilidade:
f(x)= \begin{cases}\frac{x}{9} & \text { se } 0<x \leq 3 \\\ \frac{6-x}{9} & \text { se } 3<x<6 \\\\ 0 & \text { em outro caso }\end{cases}
Onde x representa a porcentagem do uso da CPU durante um ciclo de teste.
Calcular, indicando passo a passo o procedimento para chegar à resposta:
P(X \geq 2.5).

Passo 1

O enunciado fornece a função densidade de probabilidade
f(x)= \begin{cases}\dfrac{x}{9} & \text{se } 0<x\leq 3,\\[6pt] \dfrac{6-x}{9} & \text{se } 3<x<6,\\[6pt] 0 & \text{em outro caso.}\end{cases}
Pede-se calcular a probabilidade
P(X \geq 2,5).
Informações relevantes dadas: a densidade é nula fora do intervalo (0,6); há uma descontinuidade de expressão em x=3; o evento pedido é X maior ou igual a 2,5.]

Passo 2

Conceito fundamental (aula curta): para uma variável aleatória contínua com densidade f(x), a probabilidade de X estar em um intervalo [a,b] é dada por
P(a\leq X\leq b)=\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Assim,
P(X\geq 2,5)=\int_{2,5}^{\infty} f(x)\,dx.
Como f(x)=0 para x\notin(0,6), a integral efetiva fica limitada a x\in(2,5,6), ou seja
P(X\geq 2,5)=\int_{2,5}^{6} f(x)\,dx.

Passo 3

Como 2,5<3 e a densidade tem expressão diferente para x\leq3 e para x>3, devemos partir a integral em duas:
P(X\geq 2,5)=\int_{2,5}^{3}\frac{x}{9}\,dx+\int_{3}^{6}\frac{6-x}{9}\,dx.
Aqui usamos a propriedade de linearidade da integral: a integral sobre um intervalo dividido é a soma das integrais sobre as partes.

Passo 4

Calcule a primeira integral passo a passo. A primitiva de \dfrac{x}{9} é \dfrac{x^{2}}{18} (porque \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{x^{2}}{18}\right)=\dfrac{2x}{18}=\dfrac{x}{9}). Logo,
\int_{2,5}^{3}\frac{x}{9}\,dx=\left.\frac{x^{2}}{18}\right|_{x=2,5}^{x=3} =\frac{3^{2}}{18}-\frac{(2,5)^{2}}{18}.
Agora calcule os quadrados: 3^{2}=9 e (2,5)^{2}=6,25. Portanto
\int_{2,5}^{3}\frac{x}{9}\,dx=\frac{9-6,25}{18}=\frac{2,75}{18}.
Escrevendo em fração: 2,75=\dfrac{11}{4}, então
\frac{2,75}{18}=\frac{11}{4}\cdot\frac{1}{18}=\frac{11}{72}.

Passo 5

Calcule a segunda integral. Podemos achar uma primitiva de \dfrac{6-x}{9}. Uma primitiva é
\frac{6x}{9}-\frac{x^{2}}{18}=\frac{2x}{3}-\frac{x^{2}}{18},
pois derivando obtemos \dfrac{2}{3}-\dfrac{2x}{18}=\dfrac{6- x}{9}. Avaliando entre 3 e 6:
\int_{3}^{6}\frac{6-x}{9}\,dx=\left(\frac{2x}{3}-\frac{x^{2}}{18}\right)\Bigg|_{3}^{6}.
Calcule nos limites:
no ponto x=6:
\frac{2\cdot 6}{3}-\frac{6^{2}}{18}=4-\frac{36}{18}=4-2=2.
no ponto x=3:
\frac{2\cdot 3}{3}-\frac{3^{2}}{18}=2-\frac{9}{18}=2-\frac{1}{2}= \frac{3}{2}.
Subtraindo,
\int_{3}^{6}\frac{6-x}{9}\,dx=2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}.

Passo 6

Some as duas partes obtidas:
P(X\geq 2,5)=\frac{11}{72}+\frac{1}{2}.
Colocando em denominador comum 72:
\frac{11}{72}+\frac{1}{2}=\frac{11}{72}+\frac{36}{72}=\frac{47}{72}.
Como checagem numérica, \dfrac{47}{72}\approx 0,65278. Isso significa que a probabilidade pedida é aproximadamente 65,3\%.

Resposta

\dfrac{47}{72}\approx 0,65278

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