Durante os testes de estresse em um sistema de análise de dados na nuvem, registra-se a porcentagem de uso da memória RAM durante um processo intensivo de execução. A variação no uso da RAM é modelada pela seguinte função densidade de probabilidade:
f(x)= \begin{cases}\frac{x}{9} & \text { se } 0<x \leq 3 \\\ \frac{6-x}{9} & \text { se } 3<x<6 \\\\ 0 & \text { em outro caso }\end{cases}
Onde x representa a porcentagem do uso da CPU durante um ciclo de teste.
Calcular, indicando passo a passo o procedimento para chegar à resposta: P(X \geq 2.5).
Passo 1
O enunciado fornece a função densidade de probabilidade
Informações relevantes dadas: a densidade é nula fora do intervalo (0,6); há uma descontinuidade de expressão em x=3; o evento pedido é X maior ou igual a 2,5.]
Passo 2
Conceito fundamental (aula curta): para uma variável aleatória contínua com densidade f(x), a probabilidade de X estar em um intervalo [a,b] é dada por
P(a\leq X\leq b)=\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Assim,
P(X\geq 2,5)=\int_{2,5}^{\infty} f(x)\,dx.
Como f(x)=0 para x\notin(0,6), a integral efetiva fica limitada a x\in(2,5,6), ou seja
P(X\geq 2,5)=\int_{2,5}^{6} f(x)\,dx.
Passo 3
Como 2,5<3 e a densidade tem expressão diferente para x\leq3 e para x>3, devemos partir a integral em duas:
Aqui usamos a propriedade de linearidade da integral: a integral sobre um intervalo dividido é a soma das integrais sobre as partes.
Passo 4
Calcule a primeira integral passo a passo. A primitiva de \dfrac{x}{9} é \dfrac{x^{2}}{18} (porque \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{x^{2}}{18}\right)=\dfrac{2x}{18}=\dfrac{x}{9}). Logo,