Durante a validação de um novo lote de fontes chaveadas para um sistema de automação industrial, o engenheiro responsável decidiu avaliar o consumo de corrente das unidades. De acordo com o fabricante, cada fonte deveria operar com corrente nominal em torno de 2,0 \mathrm{~A}. Foram realizadas 10 medições independentes em condições idênticas e verificou-se se cada unidade mantinha a eficiência mínima de 85 \%.
Corrente (A)
1,92
2,08
1,95
2,02
2,15
1,97
1,90
2,05
2,11
1,94
(a) Construa um intervalo de confiança de 95 \% para a média da corrente de operação das fontes. Admita que a corrente siga uma distribuição normal.
(b) O engenheiro deseja que, em futuras inspeções, o erro máximo de estimação da média de corrente não ultrapasse 0,03 \mathrm{~A}, com 95 \% de confiança. Determine o tamanho mínimo da amostra para atingir essa precisão.
(c) Para verificar se a eficiência mínima é atingida, uma nova amostra de 50 medições foi elaborada, onde 35 tiveram eficiência \geq 85 \%. Construa um intervalo de confiança de 90 \% para a proporção de unidades conformes.
Passo 1
O enunciado pede três coisas claras:
(a) Construa um intervalo de confiança de 95\% para a média da corrente de operação das fontes, a partir de 10 medições independentes. Os dados das correntes (em ampères) são: 1,92,\;2,08,\;1,95,\;2,02,\;2,15,\;1,97,\;1,90,\;2,05,\;2,11,\;1,94. Foi dito para admitir que a corrente segue distribuição normal.
(b) Determinar o tamanho mínimo da amostra para que o erro máximo de estimação da média não ultrapasse 0,03\\ \mathrm{A} com 95\% de confiança (isto é, escolher n tal que a margem de erro seja \le 0,03\\ \mathrm{A}).
(c) A partir de uma nova amostra de n=50 medições, com 35 conformes (eficiência \ge 85\%), construir um intervalo de confiança de 90\% para a proporção de unidades conformes.
Isso é a melhor estimativa pontual, baseada nessa amostra, para a média da corrente.
Passo 3
Para construir o intervalo de confiança usando t precisamos da estimativa da variabilidade, isto é, do desvio-padrão amostral s. A fórmula do desvio-padrão amostral é
onde n-1 é o grau de liberdade (correção de Bessel). Calculamos as diferenças x_i-\overline{x}, seus quadrados e somamos. Fiz as contas (mostrando o resultado agregado):
Arredondando de forma prática para três casas decimais: [1,948\\ \mathrm{A},\;2,071\\ \mathrm{A}].
Passo 5
Comentário curto e motivador: isso significa que, com 95\% de confiança, a média verdadeira da corrente das fontes está entre aproximadamente 1,95 e 2,07\\ \mathrm{A}. Não é tão ruim — a média nominal de 2,0\\ \mathrm{A} está dentro desse intervalo.
Passo 6
Agora (b): queremos escolher n tal que a margem de erro ao estimar a média seja E=0,03\\ \mathrm{A} com 95\% de confiança. Para planejamento, quando usamos um desvio-padrão desconhecido, é prática comum usar o desvio-padrão amostral obtido como estimativa de \sigma e adotar a aproximação normal (z) para calcular n. A fórmula usada é
onde z_{\alpha/2} é o quantil da normal padrão, \sigma_{\text{est}} é a estimativa do desvio-padrão (aqui usamos s=0,08594 calculado) e E a margem máxima permitida. Para 95\% de confiança, z_{0{,}025}=1,96. Substituindo:
n=\left(\frac{1,96\cdot0,08594}{0,03}\right)^2.
Calculemos passo a passo:
1,96\cdot0,08594=0,16834,
\frac{0,16834}{0,03}=5,6113,
n=(5,6113)^2=31,49.
Como n deve ser inteiro e precisamos garantir que a margem de erro seja no máximo 0,03\\ \mathrm{A}, arredondamos para cima:
n_{\min}=32.
Passo 7
Finalmente (c): temos uma amostra de n=50 onde x=35 são conformes. A estimativa pontual da proporção é
\hat{p}=\frac{x}{n}=\frac{35}{50}=0,70.
Para construir um intervalo de confiança aproximado de 90\% para a proporção usamos a aproximação normal (válida aqui porque n\hat{p}=35 e n(1-\hat{p})=15 são ambos \ge 5). A fórmula é
Arredondando a três casas decimais: [0,593,\;0,807].
Resposta
(a) 95\% IC para a média: [1,948\\ \mathrm{A},\;2,071\\ \mathrm{A}]
(b) Tamanho mínimo da amostra: n_{\min}=32
(c) 90\% IC para a proporção conforme: [0,593,\;0,807]