Durante a validação de um novo lote de fontes chaveadas para um sistema de automação industrial, o engenheiro responsável decidiu avaliar o consumo de corrente das unidades. De acordo com o fabricante, cada fonte deveria operar com corrente nominal em torno de 2,0 \mathrm{~A}. Foram realizadas 10 medições independentes em condições idênticas e verificou-se se cada unidade mantinha a eficiência mínima de 85 \%.
Corrente (A) 1,92 2,08 1,95 2,02 2,15 1,97 1,90 2,05 2,11 1,94
(a) Construa um intervalo de confiança de 95 \% para a média da corrente de operação das fontes. Admita que a corrente siga uma distribuição normal.
(b) O engenheiro deseja que, em futuras inspeções, o erro máximo de estimação da média de corrente não ultrapasse 0,03 \mathrm{~A}, com 95 \% de confiança. Determine o tamanho mínimo da amostra para atingir essa precisão.
(c) Para verificar se a eficiência mínima é atingida, uma nova amostra de 50 medições foi elaborada, onde 35 tiveram eficiência \geq 85 \%. Construa um intervalo de confiança de 90 \% para a proporção de unidades conformes.

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras:
  • (a) Construa um intervalo de confiança de 95\% para a média da corrente de operação das fontes, a partir de 10 medições independentes. Os dados das correntes (em ampères) são: 1,92,\;2,08,\;1,95,\;2,02,\;2,15,\;1,97,\;1,90,\;2,05,\;2,11,\;1,94. Foi dito para admitir que a corrente segue distribuição normal.
  • (b) Determinar o tamanho mínimo da amostra para que o erro máximo de estimação da média não ultrapasse 0,03\\ \mathrm{A} com 95\% de confiança (isto é, escolher n tal que a margem de erro seja \le 0,03\\ \mathrm{A}).
  • (c) A partir de uma nova amostra de n=50 medições, com 35 conformes (eficiência \ge 85\%), construir um intervalo de confiança de 90\% para a proporção de unidades conformes.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{Dados (correntes)} = \{1,92,\;2,08,\;1,95,\;2,02,\;2,15,\;1,97,\;1,90,\;2,05,\;2,11,\;1,94\}.
n_{\text{(a)}}=10,\quad \text{assume-se normalidade (portanto uso do }t\text{ se a variância pop. é desconhecida).}âé
\text{Para (b): margem desejada }E=0,03\\ \mathrm{A},\\ \text{confiança }95\%.ç
\text{Para \text{(c)}: }n=50,\\ x=35,\\ \hat{p}=35/50.

Passo 2

Vamos começar (a) calculando a média amostral \overline{x}. A fórmula da média amostral é
\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde x_i são as observações e n o número de observações. Somo os valores dados:
\sum_{i=1}^{10} x_i = 1,92+2,08+1,95+2,02+2,15+1,97+1,90+2,05+2,11+1,94 = 20,09.
Então a média amostral é
\overline{x}=\frac{20,09}{10}=2,009\\ \mathrm{A}.
Isso é a melhor estimativa pontual, baseada nessa amostra, para a média da corrente.

Passo 3

Para construir o intervalo de confiança usando t precisamos da estimativa da variabilidade, isto é, do desvio-padrão amostral s. A fórmula do desvio-padrão amostral é
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2},
onde n-1 é o grau de liberdade (correção de Bessel). Calculamos as diferenças x_i-\overline{x}, seus quadrados e somamos. Fiz as contas (mostrando o resultado agregado):
\sum_{i=1}^{10}(x_i-\overline{x})^2 = 0,06649.
Logo
s^2=\frac{0,06649}{10-1}=0,007387\quad\Rightarrow\quad s=\sqrt{0,007387}=0,08594\\ \mathrm{A}.
Interpretação rápida: s é a estimativa da dispersão das correntes ao redor da média amostral.

Passo 4

Agora montamos o intervalo de confiança de 95\% para a média quando a variância populacional é desconhecida e a amostra vem de uma normal. A fórmula é
\overline{x}\pm t_{\alpha/2,\;n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}},
onde t_{\alpha/2,\;n-1} é o quantil da distribuição t com n-1 graus de liberdade e \alpha=1-0{,}95=0{,}05. Aqui n=10 e n-1=9. O valor tabelado é
t_{0{,}025,\;9}=2,262.
Calculamos a margem de erro:
\text{ME}=t_{0{,}025,\;9}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}=2,262\cdot\frac{0,08594}{\sqrt{10}}.
\sqrt{10}=3,1623\quad\Rightarrow\quad\frac{0,08594}{\sqrt{10}}=0,02718.
\text{ME}=2,262\cdot0,02718=0,0615\\ \mathrm{A}.
Portanto o intervalo de confiança é
\left[\overline{x}-\text{ME},\;\overline{x}+\text{ME}\right]=[2,009-0,0615,\;2,009+0,0615]=[1,9475,\;2,0705]\\ \mathrm{A}.
Arredondando de forma prática para três casas decimais: [1,948\\ \mathrm{A},\;2,071\\ \mathrm{A}].

Passo 5

Comentário curto e motivador: isso significa que, com 95\% de confiança, a média verdadeira da corrente das fontes está entre aproximadamente 1,95 e 2,07\\ \mathrm{A}. Não é tão ruim — a média nominal de 2,0\\ \mathrm{A} está dentro desse intervalo.

Passo 6

Agora (b): queremos escolher n tal que a margem de erro ao estimar a média seja E=0,03\\ \mathrm{A} com 95\% de confiança. Para planejamento, quando usamos um desvio-padrão desconhecido, é prática comum usar o desvio-padrão amostral obtido como estimativa de \sigma e adotar a aproximação normal (z) para calcular n. A fórmula usada é
n=\left(\frac{z_{\alpha/2}\,\sigma_{\text{est}}}{E}\right)^2,
onde z_{\alpha/2} é o quantil da normal padrão, \sigma_{\text{est}} é a estimativa do desvio-padrão (aqui usamos s=0,08594 calculado) e E a margem máxima permitida. Para 95\% de confiança, z_{0{,}025}=1,96. Substituindo:
n=\left(\frac{1,96\cdot0,08594}{0,03}\right)^2.
Calculemos passo a passo:
1,96\cdot0,08594=0,16834,
\frac{0,16834}{0,03}=5,6113,
n=(5,6113)^2=31,49.
Como n deve ser inteiro e precisamos garantir que a margem de erro seja no máximo 0,03\\ \mathrm{A}, arredondamos para cima:
n_{\min}=32.

Passo 7

Finalmente (c): temos uma amostra de n=50 onde x=35 são conformes. A estimativa pontual da proporção é
\hat{p}=\frac{x}{n}=\frac{35}{50}=0,70.
Para construir um intervalo de confiança aproximado de 90\% para a proporção usamos a aproximação normal (válida aqui porque n\hat{p}=35 e n(1-\hat{p})=15 são ambos \ge 5). A fórmula é
\hat{p}\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}},
com \alpha=1-0{,}90=0{,}10 e z_{0{,}05}=1,645. Calculamos a margem de erro:
\text{ME}=1,645\sqrt{\frac{0,70\cdot0,30}{50}}=1,645\sqrt{\frac{0,21}{50}}=1,645\sqrt{0,0042}.
\sqrt{0,0042}=0,064807\quad\Rightarrow\quad\text{ME}=1,645\cdot0,064807=0,1066.
Logo o intervalo é
[0,70-0,1066,\;0,70+0,1066]=[0,5934,\;0,8066].
Arredondando a três casas decimais: [0,593,\;0,807].

Resposta

(a) 95\% IC para a média: [1,948\\ \mathrm{A},\;2,071\\ \mathrm{A}]
(b) Tamanho mínimo da amostra: n_{\min}=32
(c) 90\% IC para a proporção conforme: [0,593,\;0,807]

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