Um fabricante de refletores led anuncia que a durabilidade do seu produto tem uma distribuição normal, com média de 25.000 h e desvio padrão de 6.000 h . Um fabricante de sistemas de segurança interessado testa 20 refletores e chega a uma média amostral de durabilidade de 22.900 h .
(a) Para uma significância de
, determine a região de rejeição da hipótese da durabilidade média ser de pelo menos 25.000 h .
(b) Determine o p-valor associado. Para a significância de
, a hipótese da durabilidade ser pelo menos 25.000 h deve ser rejeitada?
(c) O que acontece com o p-valor se, ao se dobrar o tamanho da amostra, obtem-se uma média aritmética de 23.100 h ? Qual é a decisão para a significância de
?
(a) Para uma significância de
(b) Determine o p-valor associado. Para a significância de
(c) O que acontece com o p-valor se, ao se dobrar o tamanho da amostra, obtem-se uma média aritmética de 23.100 h ? Qual é a decisão para a significância de
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e faz estas perguntas.
Dados fornecidos:
Perguntas:
(a) Para , determine a região de rejeição da hipótese de que a durabilidade média é de pelo menos
h.
(b) Calcule o -valor associado ao resultado observado e diga se, para
, devemos rejeitar a hipótese de que a durabilidade é pelo menos
h.
(c) Se dobrarmos o tamanho da amostra ( passa a
) e obtemos
, o que acontece com o
-valor e qual a decisão para
?
(a) Para
(b) Calcule o
(c) Se dobrarmos o tamanho da amostra (
Passo 2
Definição das hipóteses (lembre-se: o enunciado fala “ser de pelo menos
h”, então a hipótese nula afirma que a média é pelo menos esse valor):
Isto é um teste unilateral à esquerda (rejeta-se
se a média amostral estiver suficientemente abaixo de
). Não vamos avançar com cálculos ainda; primeiro explico a estatística de teste que usamos.
Passo 3
Escolha do método e justificativa do procedimento:
- O enunciado diz que a durabilidade tem distribuição normal e fornece o desvio-padrão populacional
. Quando é conhecido e a população é normal (ou grande), usamos o teste . - A estatística de teste é a padronização da média amostral:
Aqui:
-
é a média amostral observada; -
é o valor assumido sob (aqui ); -
é o erro padrão da média (quanto a média amostral normalmente varia em torno de quando a amostra tem tamanho ).
Osegue uma distribuição normal padrão sob .
Passo 4
Região de rejeição em termos de
:
- Para nível de significância
e teste unilateral à esquerda, o valor crítico da normal padrão é o quantil , isto é tal que . - Esse valor é
Portanto, em termos de
, a região de rejeição é
Passo 5
Transformando a região de rejeição para a média amostral
(útil para ver diretamente qual média levaria à rejeição):
A desigualdade equivale a
A desigualdade
Multiplicando pelo erro padrão e somando
, a região de rejeição em termos de
é
Agora vamos calcular numericamente para
.
Passo 6
Cálculo do erro padrão e do limite crítico para
:
Produto com o quantil:
Logo o limite crítico para a média é
Portanto, a regra prática: rejeitar
se
(equivalente a
).
Passo 7
Cálculo da estatística observada com os dados
e
:
Interpretação rápida:
está à direita do crítico
, então não caiu na região de rejeição.
Passo 8
Cálculo do
-valor (para teste unilateral à esquerda):
- O
-valor é quando é à esquerda. - Assim
Explicando:
é a função de distribuição acumulada da normal padrão, e
é a probabilidade de obter um valor tão pequeno ou menor que o observado sob
.
Passo 9
Decisão para (a) e (b) com
:
- Região de rejeição (em forma final): rejeitar
se (ou se ). (Resposta da parte a.) - Como o
-valor calculado é , que é maior que , não rejeitamos . Em palavras: com esses dados (n=20, ) não há evidência suficiente ao nível de para concluir que a média é menor que h.
Passo 10
Agora parte (c): duplicando a amostra para
e com
. Vou recalcular erro padrão, estatística e
-valor e comentar o que muda.
Passo 11
Erro padrão para
:
Passo 12
Valor crítico para
com
(em termos de
):
Ou seja, rejeitar
se
.
Passo 13
Estatística observada com
e
:
Passo 14
Isto quer dizer que, com
e
, a probabilidade de observar uma média tão baixa sob
é aproximadamente
.
Passo 15
Decisão para (c) e interpretação do comportamento do
-valor:
- Comparando com
, agora , então rejeitamos . Com a amostra maior e a média , há evidência suficiente ao nível de para concluir que a média é menor que h. - Intuição sobre o que aconteceu com o
-valor: ao dobrar , o erro padrão diminuiu (de para ), portanto o mesmo desvio da média para baixo em horas corresponde a um mais extremo (em valor absoluto maior), o que produz um -valor menor. Ou seja, amostras maiores tornam o teste mais sensível para detectar desvios da hipótese nula.
Resposta
(a) Região de rejeição:
(equivalente a
).
(b) -valor
. Não rejeita-se
ao nível de
.
(c) Com e
:
-valor
. Rejeita-se
ao nível de
.
(b)
(c) Com