Um fabricante de refletores led anuncia que a durabilidade do seu produto tem uma distribuição normal, com média de 25.000 h e desvio padrão de 6.000 h . Um fabricante de sistemas de segurança interessado testa 20 refletores e chega a uma média amostral de durabilidade de 22.900 h .
(a) Para uma significância de 5 \%, determine a região de rejeição da hipótese da durabilidade média ser de pelo menos 25.000 h .
(b) Determine o p-valor associado. Para a significância de 5 \%, a hipótese da durabilidade ser pelo menos 25.000 h deve ser rejeitada?
(c) O que acontece com o p-valor se, ao se dobrar o tamanho da amostra, obtem-se uma média aritmética de 23.100 h ? Qual é a decisão para a significância de 5 \% ?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e faz estas perguntas.
Dados fornecidos:
\text{população normal com média anunciada } \mu_0 = 25000,\qquad \sigma = 6000,çãé
n=20,\qquad \bar{x}=22900.
Perguntas:
(a) Para \alpha=0,05, determine a região de rejeição da hipótese de que a durabilidade média é de pelo menos 25000 h.
(b) Calcule o p-valor associado ao resultado observado e diga se, para \alpha=0,05, devemos rejeitar a hipótese de que a durabilidade é pelo menos 25000 h.
(c) Se dobrarmos o tamanho da amostra ( n passa a 40) e obtemos \bar{x}=23100, o que acontece com o p-valor e qual a decisão para \alpha=0,05?

Passo 2

Definição das hipóteses (lembre-se: o enunciado fala “ser de pelo menos 25000 h”, então a hipótese nula afirma que a média é pelo menos esse valor):
H_0:\\ \mu \ge 25000,\qquad H_a:\\ \mu < 25000.
Isto é um teste unilateral à esquerda (rejeta-se H_0 se a média amostral estiver suficientemente abaixo de 25000). Não vamos avançar com cálculos ainda; primeiro explico a estatística de teste que usamos.

Passo 3

Escolha do método e justificativa do procedimento:
  • O enunciado diz que a durabilidade tem distribuição normal e fornece o desvio-padrão populacional \sigma. Quando \sigma é conhecido e a população é normal (ou n grande), usamos o teste z.
  • A estatística de teste é a padronização da média amostral:
Z=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}.
Aqui:
  • \bar{X} é a média amostral observada;
  • \mu_0 é o valor assumido sob H_0 (aqui 25000);
  • \sigma/\sqrt{n} é o erro padrão da média (quanto a média amostral normalmente varia em torno de \mu quando a amostra tem tamanho n).
    O Z segue uma distribuição normal padrão N(0,1) sob H_0.

Passo 4

Região de rejeição em termos de Z:
  • Para nível de significância \alpha=0,05 e teste unilateral à esquerda, o valor crítico da normal padrão é o quantil \Phi^{-1}(0,05), isto é z_\alpha tal que P(Z\le z_\alpha)=0,05.
  • Esse valor é
z_{0,05}\approx -1,645.
Portanto, em termos de Z, a região de rejeição é
\{Z < -1,645\}.

Passo 5

Transformando a região de rejeição para a média amostral \bar{X} (útil para ver diretamente qual média levaria à rejeição):
A desigualdade Z< -1,645 equivale a
\frac{\bar{X}-25000}{\sigma/\sqrt{n}} < -1,645.
Multiplicando pelo erro padrão e somando 25000, a região de rejeição em termos de \bar{X} é
\bar{X} < 25000 + (-1,645)\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Agora vamos calcular numericamente para n=20.

Passo 6

Cálculo do erro padrão e do limite crítico para n=20:
\sqrt{n}=\sqrt{20}\approx 4,4721,
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{6000}{\sqrt{20}}\approx 1341,6408.
Produto com o quantil:
-1,645\cdot 1341,6408 \approx -2206,09.
Logo o limite crítico para a média é
\bar{X}_{\text{crit}} = 25000 - 2206,09 \approx 22793,91.
Portanto, a regra prática: rejeitar H_0 se \bar{X}<22793,91 (equivalente a Z<-1,645).

Passo 7

Cálculo da estatística observada com os dados n=20 e \bar{x}=22900:
Z_{\text{obs}}=\frac{\bar{x}-25000}{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{22900-25000}{6000/\sqrt{20}}=\frac{-2100}{1341,6408}\approx -1,5652.
Interpretação rápida: Z_{\text{obs}}=-1,5652 está à direita do crítico -1,645, então não caiu na região de rejeição.

Passo 8

Cálculo do p-valor (para teste unilateral à esquerda):
  • O p-valor é P(Z\le Z_{\text{obs}}) quando H_a é à esquerda.
  • Assim
p = \Phi(Z_{\text{obs}})=\Phi(-1,5652)\approx 0,0586.
Explicando: \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão, e \Phi(-1,5652) é a probabilidade de obter um valor tão pequeno ou menor que o observado sob H_0.

Passo 9

Decisão para (a) e (b) com \alpha=0,05:
  • Região de rejeição (em forma final): rejeitar H_0 se \bar{X}<22793,91 (ou se Z<-1,645). (Resposta da parte a.)
  • Como o p-valor calculado é p\approx 0,0586, que é maior que \alpha=0,05, não rejeitamos H_0. Em palavras: com esses dados (n=20, \bar{x}=22900) não há evidência suficiente ao nível de 5\% para concluir que a média é menor que 25000 h.

Passo 10

Agora parte (c): duplicando a amostra para n=40 e com \bar{x}=23100. Vou recalcular erro padrão, estatística e p-valor e comentar o que muda.

Passo 11

Erro padrão para n=40:
\sqrt{n}=\sqrt{40}\approx 6,3246,
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{6000}{\sqrt{40}}\approx 948,6833.

Passo 12

Valor crítico para \alpha=0,05 com n=40 (em termos de \bar{X}):
\bar{X}_{\text{crit}} = 25000 + (-1,645)\cdot 948,6833 \approx 25000 - 1561,69 \approx 23438,31.
Ou seja, rejeitar H_0 se \bar{X} < 23438,31.

Passo 13

Estatística observada com n=40 e \bar{x}=23100:
Z_{\text{obs}}=\frac{23100-25000}{948,6833}=\frac{-1900}{948,6833}\approx -2,0021.

Passo 14

p-valor para o novo Z_{\text{obs}}:
p=\Phi(-2,0021)\approx 0,0227.
Isto quer dizer que, com n=40 e \bar{x}=23100, a probabilidade de observar uma média tão baixa sob H_0 é aproximadamente 0,0227.

Passo 15

Decisão para (c) e interpretação do comportamento do p-valor:
  • Comparando com \alpha=0,05, agora p\approx 0,0227 < 0,05, então rejeitamos H_0. Com a amostra maior e a média 23100, há evidência suficiente ao nível de 5\% para concluir que a média é menor que 25000 h.
  • Intuição sobre o que aconteceu com o p-valor: ao dobrar n, o erro padrão \sigma/\sqrt{n} diminuiu (de \approx 1341,64 para \approx 948,68), portanto o mesmo desvio da média para baixo em horas corresponde a um Z mais extremo (em valor absoluto maior), o que produz um p-valor menor. Ou seja, amostras maiores tornam o teste mais sensível para detectar desvios da hipótese nula.

Resposta

(a) Região de rejeição: \bar{x}<22793,91 (equivalente a Z<-1,645).
(b) p-valor \approx 0,0586. Não rejeita-se H_0 ao nível de 5\%.
(c) Com n=40 e \bar{x}=23100: p-valor \approx 0,0227. Rejeita-se H_0 ao nível de 5\%.

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