Exercício 3. Durante uma avaliação de agilidade, um preparador físico cronometrou o tempo, em segundos (s), que 15 atletas levaram para completar um circuito específico. Os tempos registrados foram:
25,28,30,22,35,31,29,28,40,33,26,28,38,24,29
a) Calcule a média, a mediana e a moda do tempo gasto para completar o circuito.
b) Construa um boxplot para representar a distribuição dos dados, identificando o mínimo, o máximo, os quartis e a mediana.

Passo 1

O enunciado dá os tempos, em segundos, de 15 atletas:
25,28,30,22,35,31,29,28,40,33,26,28,38,24,29
As perguntas são:
a) Calcular a média, a mediana e a moda desses tempos.
b) Construir um boxplot, identificando o mínimo, o máximo, os quartis e a mediana.
Listei acima todos os dados fornecidos; a resolução começa organizando esses dados para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro passo prático: ordenar os dados (isso é obrigatório para mediana e quartis). Ordenando em ordem crescente obtemos:
22,24,25,26,28,28,28,29,29,30,31,33,35,38,40
Contei 15 valores (confirme sempre o n). Manter os dados ordenados ajuda a achar posições como a do centro e das metades.

Passo 3

Vamos calcular a média aritmética. Conceito rápido: a média é a soma de todos os valores dividida pela quantidade de observações. Fórmula:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i
onde x_i são os tempos e n é o número de atletas ( n=15). Somando todos os tempos (usei os valores ordenados, mas a soma independe da ordem):
22+24+25+26+28+28+28+29+29+30+31+33+35+38+40=446
Portanto a média é
\bar{x}=\frac{446}{15}
Podemos apresentar como número decimal: \displaystyle\frac{446}{15}=29,733\overline{3}.
Se quiser arredondar para duas casas: \bar{x}\approx29,73.

Passo 4

Agora a mediana. Conceito: a mediana é o valor central quando os dados estão ordenados.
  • Se n é ímpar, a mediana é o valor na posição \frac{n+1}{2}.
    Aqui n=15 (ímpar), então a posição da mediana é
\frac{15+1}{2}=8.
O 8-º valor na lista ordenada é \,29. Logo a mediana é \,29.
Vou explicar por que isso funciona: com 15 observações, há 7 valores abaixo e 7 acima do valor central; isso garante que 29 é o ponto que divide a amostra em duas metades iguais.

Passo 5

Moda. Conceito: a moda é o valor que aparece com maior frequência. Contando as repetições na lista ordenada:
  • 22 aparece 1 vez,
  • 24 1 vez,
  • 25 1 vez,
  • 26 1 vez,
  • 28 3 vezes,
  • 29 2 vezes,
  • 30 1 vez,
  • 31 1 vez,
  • 33 1 vez,
  • 35 1 vez,
  • 38 1 vez,
  • 40 1 vez.
    O valor com maior frequência é 28 (ocorre 3 vezes). Portanto a moda é \,28.

Passo 6

Quartis (necessários para o boxplot). Definição prática para n ímpar: com a mediana no centro, o primeiro quartil Q_1 é a mediana da metade inferior (valores abaixo da mediana) e o terceiro quartil Q_3 é a mediana da metade superior (valores acima da mediana).
Metade inferior (7 valores):
22,24,25,26,28,28,28
A mediana dessa metade (posição \frac{7+1}{2}=4) é o 4-º valor: \,26. Logo
Q_1=26.
Metade superior (7 valores):
29,30,31,33,35,38,40
A mediana dessa metade (posição 4 dentro dessa metade) é o 4-º valor: \,33. Logo
Q_3=33.
Confirmação: já tínhamos mediana Q_2=29. Assim temos Q_1=26, Q_2=29, Q_3=33.

Passo 7

Identificar mínimo e máximo (para os extremos do boxplot):
  • Mínimo: o menor valor da amostra é \,22.
  • Máximo: o maior valor da amostra é \,40.
Calcular o intervalo interquartílico (IQR), útil para decidir sobre outliers e para desenhar o boxplot:
\text{IQR}=Q_3-Q_1=33-26=7.
Regras práticas para outliers (regra comum): limites
\text{limite inferior}=Q_1-1,5\cdot\text{IQR}=26-1,5\cdot7=26-10,5=15,5,
\text{limite superior}=Q_3+1,5\cdot\text{IQR}=33+10,5=43,5.
Como todos os dados estão entre 22 e 40, nenhum valor ultrapassa esses limites, logo não há outliers segundo essa regra. Os whiskers do boxplot ficam no mínimo ( 22) e no máximo ( 40).

Passo 8

Como construir o boxplot (passo a passo prático para a prova):
  1. Na reta numérica marque os pontos 22 (mínimo) até 40 (máximo).
  2. Desenhe um retângulo (a “caixa”) com as bordas em Q_1=26 e Q_3=33.
  3. Dentro da caixa marque a mediana Q_2=29 (uma linha vertical).
  4. Trace os whiskers: uma linha do retângulo até o mínimo 22 e outra até o máximo 40.
  5. Não há pontos isolados (outliers) para marcar separadamente.
Dica rápida: ao fazer no rascunho da prova, primeiro escreva os cinco números resumidos (\text{mín},Q_1,Q_2,Q_3,\text{máx})íá para guiar o desenho.

Resposta

a) Média = \displaystyle\frac{446}{15}=29,733\overline{3}; Mediana = 29; Moda = 28.
b) Mínimo = 22; Q_1=26; Mediana = 29; Q_3=33; Máximo = 40.

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