Exercício 3. Durante uma avaliação de agilidade, um preparador físico cronometrou o tempo, em segundos (s), que 15 atletas levaram para completar um circuito específico. Os tempos registrados foram:
a) Calcule a média, a mediana e a moda do tempo gasto para completar o circuito.
b) Construa um boxplot para representar a distribuição dos dados, identificando o mínimo, o máximo, os quartis e a mediana.
b) Construa um boxplot para representar a distribuição dos dados, identificando o mínimo, o máximo, os quartis e a mediana.
Passo 1
O enunciado dá os tempos, em segundos, de
atletas:
As perguntas são:
a) Calcular a média, a mediana e a moda desses tempos.
b) Construir um boxplot, identificando o mínimo, o máximo, os quartis e a mediana.
Listei acima todos os dados fornecidos; a resolução começa organizando esses dados para facilitar os cálculos.
a) Calcular a média, a mediana e a moda desses tempos.
b) Construir um boxplot, identificando o mínimo, o máximo, os quartis e a mediana.
Listei acima todos os dados fornecidos; a resolução começa organizando esses dados para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro passo prático: ordenar os dados (isso é obrigatório para mediana e quartis). Ordenando em ordem crescente obtemos:
Contei
valores (confirme sempre o
). Manter os dados ordenados ajuda a achar posições como a do centro e das metades.
Passo 3
Vamos calcular a média aritmética. Conceito rápido: a média é a soma de todos os valores dividida pela quantidade de observações. Fórmula:
onde
são os tempos e
é o número de atletas (
). Somando todos os tempos (usei os valores ordenados, mas a soma independe da ordem):
Portanto a média é
Podemos apresentar como número decimal:
.
Se quiser arredondar para duas casas: .
Se quiser arredondar para duas casas:
Passo 4
Agora a mediana. Conceito: a mediana é o valor central quando os dados estão ordenados.
- Se
é ímpar, a mediana é o valor na posição .
Aqui(ímpar), então a posição da mediana é
O
-º valor na lista ordenada é
. Logo a mediana é
.
Vou explicar por que isso funciona: com
observações, há
valores abaixo e
acima do valor central; isso garante que
é o ponto que divide a amostra em duas metades iguais.
Passo 5
Moda. Conceito: a moda é o valor que aparece com maior frequência. Contando as repetições na lista ordenada:
-
aparece 1 vez, -
1 vez, -
1 vez, -
1 vez, -
3 vezes, -
2 vezes, -
1 vez, -
1 vez, -
1 vez, -
1 vez, -
1 vez, -
1 vez.
O valor com maior frequência é(ocorre vezes). Portanto a moda é .
Passo 6
Quartis (necessários para o boxplot). Definição prática para
ímpar: com a mediana no centro, o primeiro quartil
é a mediana da metade inferior (valores abaixo da mediana) e o terceiro quartil
é a mediana da metade superior (valores acima da mediana).
Metade inferior (7 valores):
A mediana dessa metade (posição
) é o
-º valor:
. Logo
Metade superior (7 valores):
A mediana dessa metade (posição
dentro dessa metade) é o
-º valor:
. Logo
Confirmação: já tínhamos mediana
. Assim temos
,
,
.
Passo 7
Identificar mínimo e máximo (para os extremos do boxplot):
- Mínimo: o menor valor da amostra é
. - Máximo: o maior valor da amostra é
.
Calcular o intervalo interquartílico (IQR), útil para decidir sobre outliers e para desenhar o boxplot:
Regras práticas para outliers (regra comum): limites
Como todos os dados estão entre
e
, nenhum valor ultrapassa esses limites, logo não há outliers segundo essa regra. Os whiskers do boxplot ficam no mínimo (
) e no máximo (
).
Passo 8
Como construir o boxplot (passo a passo prático para a prova):
- Na reta numérica marque os pontos
(mínimo) até (máximo). - Desenhe um retângulo (a “caixa”) com as bordas em
e . - Dentro da caixa marque a mediana
(uma linha vertical). - Trace os whiskers: uma linha do retângulo até o mínimo
e outra até o máximo . - Não há pontos isolados (outliers) para marcar separadamente.
Dica rápida: ao fazer no rascunho da prova, primeiro escreva os cinco números resumidos
para guiar o desenho.
Resposta
a) Média =
; Mediana =
; Moda =
.
b) Mínimo =
;
; Mediana =
;
; Máximo =
.