Um duto de água se afunila de um raio de 12,5 \mathrm{~mm} para um raio de 9 mm . Se a velocidade da água na parte de 12,5 \mathrm{~mm} é de 1,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, qual é a velocidade da água na parte mais estreita do duto?
Escolha uma opção:
\bigcirc a. \quad 1,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
\bigcirc b. 3,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
\bigcirc c. 9,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
\bigcirc d. 12,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado dá um duto que afunila de um raio maior para um raio menor e pede a velocidade na parte mais estreita. Dados fornecidos:
  • raio na parte larga: r_1 = 12{,}5\\ \text{mm};
  • raio na parte estreita: r_2 = 9\\ \text{mm};
  • velocidade na parte larga: v_1 = 1{,}8\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
    Pergunta: qual é a velocidade v_2 da água na parte mais estreita?

Passo 2

Princípio físico usado: conservação de massa para um fluido incompressível (continuidade). Em palavras: a quantidade de fluido que passa por uma secção por unidade de tempo é a mesma em qualquer secção do duto. Em fórmula:
A_1 v_1 = A_2 v_2,
onde A é a área da seção transversal e v a velocidade média naquele ponto. Aqui:
  • A_1 é a área da secção com raio r_1;
  • A_2 é a área da secção com raio r_2.

Passo 3

A área de uma seção circular é \displaystyle A=\pi r^2, onde r é o raio. Substituindo em \displaystyle A_1 v_1 = A_2 v_2 obtemos:
\pi r_1^2 v_1 = \pi r_2^2 v_2.
O fator \pi cancela-se dos dois lados, ficando:
v_2 = v_1 \frac{r_1^2}{r_2^2}.
Observação prática: não é necessário converter os raios para metros, pois na razão \displaystyle \frac{r_1^2}{r_2^2} as unidades se cancelam (desde que ambos os raios usem a mesma unidade).

Passo 4

Agora aplicamos os números. Primeiro calculamos os quadrados dos raios (mantendo mm):
r_1^2 = (12{,}5)^2 = 156{,}25, \qquad r_2^2 = 9^2 = 81.
Então
v_2 = 1{,}8\cdot\frac{156{,}25}{81}.
Para calcular sem calculadora de forma exata, note que 1{,}8=\dfrac{9}{5} e 156{,}25=\dfrac{625}{4}. Assim
v_2 = \frac{9}{5}\cdot\frac{625}{4}\cdot\frac{1}{81} = \frac{9\cdot625}{5\cdot4\cdot81}.
Simplificando passo a passo: 9/81=1/9 e 625/5=125. Portanto
v_2 = \frac{125}{9\cdot4} = \frac{125}{36}.

Passo 5

Convertemos a fração para decimal para interpretar o resultado:
\frac{125}{36}\approx 3{,}4722\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
Arredondando conforme as opções dadas, isso corresponde a aproximadamente 3{,}5\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}. Logo a alternativa correta é a letra (b).

Resposta

b. 3{,}5\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}

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