Um duto cilíndrico com raio externo r_{1}=2 \mathrm{~cm} com sua superfície à temperatura T_{1}=120^{\circ} \mathrm{C}, constante, cede calor para o ar ambiente, que mantém temperatura \mathrm{T} \infty=25^{\circ} \mathrm{C}, constante, com coeficiente de transferência de calor por convecção de \mathrm{h}=4 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} { }^{\circ} \mathrm{C}. Para reduzir a perda de calor, reveste-se o duto com uma camada cilíndrica de isolante com condutividade térmica \mathrm{k}_{\mathrm{I}}=0,15 \mathrm{~W} / \mathrm{m} { }^{\circ} \mathrm{C}. Considerando um contato térmico perfeito entre o duto e o isolante, determine o fluxo de calor perdido para o ambiente, por comprimento unitário do duto, para os casos de:
duto sem isolamento.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de calor perdido para o ambiente por comprimento unitário do duto no caso do duto sem isolamento. Dados fornecidos (todos expressos explicitamente):
\;r_{1}=2\\ \mathrm{cm} (raio externo do duto),
\;T_{1}=120^\circ\mathrm{C} (temperatura da superfície do duto, constante),
\;T_{\infty}=25^\circ\mathrm{C} (temperatura do ar ambiente),
\;h=4\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\,^\circ\mathrm{C} (coeficiente de convecção).
Observações importantes extraídas do enunciado: contato térmico perfeito entre duto e eventual isolante (aqui não usado porque é o caso sem isolamento) e queremos o fluxo por unidade de comprimento (ou seja, por metro de comprimento ). Antes de calcular, vou converter o raio para metros:
r_{1}=2\\ \mathrm{cm}=0,02\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Entendendo a física simples: o duto sem isolamento troca calor com o ar por convecção na sua superfície cilíndrica externa. Para uma superfície com temperatura uniforme, a taxa de perda de calor por unidade de comprimento (que chamamos de q', unidades \mathrm{W/m}) é dada pela lei de convecção:
q' = h \cdot A' \cdot \Delta T,
onde:
  • h é o coeficiente de convecção \left(\mathrm{W}/\mathrm{m}^2\,^\circ\mathrm{C}\right), que representa a capacidade do ar de remover calor por unidade de área e por diferença de temperatura;
  • A' é a área da superfície por unidade de comprimento do cilindro (ou seja, área lateral por metro), em \mathrm{m}^2/\mathrm{m} = \mathrm{m};
  • \Delta T é a diferença de temperatura entre a superfície e o ambiente, \Delta T = T_{1}-T_{\infty}, medida em ^\circ\mathrm{C} (ou K, equivalente nesse caso).
    Explicando A': a área lateral por unidade de comprimento de um cilindro de raio r é simplesmente o perímetro da seção multiplicado por 1 m de comprimento:
A' = 2\pi r.

Passo 3

Calcule as quantidades numéricas passo a passo. Primeiro a diferença de temperatura:
\Delta T = T_{1}-T_{\infty} = 120^\circ\mathrm{C} - 25^\circ\mathrm{C} = 95^\circ\mathrm{C}.
Agora a área lateral por unidade de comprimento usando r_{1}=0,02\\ \mathrm{m}:
A' = 2\pi r_{1} = 2\pi(0,02\\ \mathrm{m}) = 0,04\pi\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Substituímos tudo na fórmula de convecção:
q' = h \cdot A' \cdot \Delta T = 4\\ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}^2\,^\circ\mathrm{C}} \cdot 0,04\pi\\ \mathrm{m} \cdot 95^\circ\mathrm{C}.
Agora faço as multiplicações em etapas para ficar bem claro:
h\cdot A' = 4 \cdot 0,04\pi = 0,16\pi\\ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}\,^\circ\mathrm{C}},
em seguida
q' = 0,16\pi \cdot 95 = 15,2\pi\\ \mathrm{W/m}.

Passo 5

Calcule a aproximação numérica usando \pi \approx 3,1416:
q' \approx 15,2 \times 3,1416 = 47,75\\ \mathrm{W/m}.
Arredondando de forma prática para a prova, podemos dar q' \approx 47,8\\ \mathrm{W/m}. Boa! Isso significa que, por cada metro de comprimento do duto sem isolamento, cerca de 47,8\\ \mathrm{W} são perdidos para o ar ambiente.

Resposta

q' = 15,2\pi\\ \mathrm{W/m} \approx 47,8\\ \mathrm{W/m}

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