a) Em um duto formado por duas placas paralelas de comprimento L, ar entra através da placa inferior porosa com velocidade que varia linearmente com x, alcançando seu valor máximo V0 em x=L. O espaçamento entre as placas é de<a. A componente de velocidade na direção x é assumida depender somente de x, ou seja, u=u(x). A componente de velocidade na direção normal ao plano x -y é nula (w =0 ). Para escoamento em regime permanente e fluido incompressivel, determine: a) a componente de velocidade na direção x: u(x); b) a componente de velocidade na direção y no interior do canal: v=v(x, y ); c) a aceleração do escoamento em ( x=L, y=de<a / 2 ).
(2,0)
y
b) O campo de velocidade de um escoamento no plano x-y é dado por V=(x^2-y^2) t imath-2 x y t jmath. Determine: b1) se o escoamento é viscoso (0,5); b2) a taxa de rotação do escoamento (0,5); b3) a taxa de dilatação volumétrica do escoamento (0,5).

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Na primeira, temos um escoamento permanente e incompressível num canal de altura de<a e comprimento L, com velocidade injetada pela placa inferior tal que
v(x,0)=V0,xL,
e pedido:
a) encontrar u(x),
b) encontrar v(x,y),
c) calcular a aceleração material em l(x=L,y=de<a/2r).
Na segunda parte, o campo de velocidade é
vec V(x,y,t)=l(x^2-y^2r),t,hatimath ;-;2xy,t,hatjmath
e pede-se
b 1) classificar se há informação sobre viscosidade,
b 2) taxa de rotação,
b 3) taxa de dilatação volumétrica.

Passo 2

Como o fluido é incompressível, vale a equação da continuidade bidimensional em regime permanente:
Como , define-se , então
Integrando em :

Passo 3

Impondo as condições de contorno em e :
em , ;
em ,
Integrando em e tomando :

Passo 4

Substituindo u'(x) e C(x) na expressão de v:
v(x,y) =-y;V0,xde<a,L +V0,xL =V0,xLl(1-yde<ar)

Passo 5

A aceleração material é
a =l(u,partialxu+v,partialyur),hatimath +l(u,partialxv+v,partialyvr),hatjmath
Como u independe de y, partialyu=0. Calculando as derivadas:
partialxu=V0x/(de<a L),
partialxv=tfracV0L(1-tfrac yde<a),
partialyv=-tfracV0xLde<a.
Em x=L, y=de<a/2:
u(L)=V0,L^22de<a,L=V0,L2de<a, partialxu|x=L=V0de<a, vl(L,tfracde<a2r)=V02
Logo
ax =u,partialxu =V0,L2de<a,V0de<a =V0^2,L2,de<a^2,
ay =u,partialxv+v,partialyv =V0,L2de<a,V02L +V02l(-V02de<ar) =0

Passo 6

Para o segundo campo, primeiro notamos que a viscosidade é propriedade do fluido, não do campo de velocidades; portanto, a partir de vec V não se conclui se o fluido é viscoso ou invíscido.

Passo 7

A taxa de rotação (spin) bidimensional é Omega=tfrac12(partial v/partial x-partial u/partial y).
Aqui
partialxv=-2y,t, partialyu=-2y,t Longrightarrow partialxv-partialyu=0 Longrightarrow Omega=0

Passo 8

A taxa de dilatação volumétrica é a divergência
nablacdotvec V =partial upartial x+partial vpartial y =2x,t+(-2x,t)=0,
logo o escoamento é incompressível.

Resposta

a)
u(x)=V0,x^22,de<a,L
b)
v(x,y)=V0,xLl(1-yde<ar)
c)
al(L,tfracde<a2r) =V0^2,L2,de<a^2,hatimath
b 1) A viscosidade é propriedade do fluido e não se infere apenas do campo de velocidades.
b 2) Omega=tfrac12l(partialxv-partialyur)=0.
b 3) nablacdotvec V=0.

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