a) Em um duto formado por duas placas paralelas de comprimento , ar entra através da placa inferior porosa com velocidade que varia linearmente com , alcançando seu valor máximo em . espaçamento entre as placas é . A componente de velocidade na direção é assumida depender somente de , ou seja, . A componente de velocidade na direção normal ao plano x -y é nula (w ). Para escoamento em regime permanente e fluido incompressivel, determine: a) a componente de velocidade na direção ; b) a componente de velocidade na direção no interior do canal: , ); c) a aceleração do escoamento em ( ).
y
b) O campo de velocidade de um escoamento no plano é dado por . Determine: b1) se o escoamento é viscoso (0,5); b2) a taxa de rotação do escoamento (0,5); b3) a taxa de dilatação volumétrica do escoamento .
Passo 1
O enunciado tem duas partes. Na primeira, temos um escoamento permanente e incompressível num canal de altura e comprimento , com velocidade injetada pela placa inferior tal que
e pedido:
a) encontrar ,
b) encontrar ,
c) calcular a aceleração material em .
Na segunda parte, o campo de velocidade é
e pede-se
b) classificar se há informação sobre viscosidade,
b) taxa de rotação,
b) taxa de dilatação volumétrica.
Passo 2
Como o fluido é incompressível, vale a equação da continuidade bidimensional em regime permanente:
Como , define-se , então
Integrando em :
Passo 3
Impondo as condições de contorno em e :
em , ;
em , dá
Integrando em e tomando :
Passo 4
Substituindo e na expressão de :
Passo 5
A aceleração material é
Como independe de , . Calculando as derivadas: , , .
Em , :
ay =u,partialxv+v,partialyv =V0,L2de<a,V02L +V02l(-V02de<ar) =0
Passo 6
Para o segundo campo, primeiro notamos que a viscosidade é propriedade do fluido, não do campo de velocidades; portanto, a partir de vec V não se conclui se o fluido é viscoso ou invíscido.
Passo 7
A taxa de rotação (spin) bidimensional é Omega=tfrac12(partial v/partial x-partial u/partial y).
Aqui
nablacdotvec V =partial upartial x+partial vpartial y =2x,t+(-2x,t)=0,
logo o escoamento é incompressível.
Resposta
a)
u(x)=V0,x^22,de<a,L
b)
v(x,y)=V0,xLl(1-yde<ar)
c)
al(L,tfracde<a2r) =V0^2,L2,de<a^2,hatimath
b1) A viscosidade é propriedade do fluido e não se infere apenas do campo de velocidades.
b2) Omega=tfrac12l(partialxv-partialyur)=0.
b3) nablacdotvec V=0.