Um duto de ar quente, com diâmetro externo de 22 cm e temperatura superficial de 93^{\circ} \mathrm{C}, está localizado num grande compartimento cujas paredes estão a 21^{\circ} \mathrm{C}. O ar no compartimento está a 27^{\circ} \mathrm{C} e o coeficiente de película é 5 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} \cdot \mathrm{m}^{2} .^{\circ} \mathrm{C}. Determinar a quantidade de calor transferida por unidade de tempo, por metro de tubo, se :
o duto é de estanho ( \varepsilon=0,1 ).
\sigma=5,67 \times 10^{-8} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}^{4}

Passo 1

O enunciado descreve um tubo cilíndrico de diâmetro externo D=0,22\\ \mathrm{m} e temperatura superficial T_s=93^\circ\mathrm{C}, imerso em ar a T_\infty=27^\circ\mathrm{C} com coeficiente convectivo h=5\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h\,m^2\,^\circ C}). As paredes do compartimento, que definem o ambiente para radiação, estão a T_{amb}=21^\circ\mathrm{C}. O tubo é de estanho com emissividade \varepsilon=0,1 e a constante de Stefan–Boltzmann é \sigma=5{,}67\times10^{-8}\\ \mathrm{W/(m^2\,K^4)}. Queremos a taxa de perda de calor por metro de tubo, somando convecção e radiação.

Passo 2

Primeiro convertemos h para unidades SI (W/ m^{2}·K).
1\\ \mathrm{kcal/h} = \frac{4184\\ \mathrm{J}}{3600\\ \mathrm{s}} = 1{,}162\\ \mathrm{W},
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h = 5\\ \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{h\,m^2\,^\circ C}} = 5 \times 1{,}162\\ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m^2\,K}} = 5{,}81\\ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m^2\,K}}.

Passo 3

Calcular a perda por convecção por metro de tubo. A área externa por metro é
A = \pi D \cdot 1\,\mathrm{m} = \pi \times 0{,}22\\ \mathrm{m} = 0{,}6912\\ \mathrm{m^2}.
A diferença de temperaturas é
\Delta T = T_s - T_\infty = 93 - 27 = 66\\ ^\circ\mathrm{C}.
Portanto
\dot Q_{conv}' = h\,A\,\Delta T = 5{,}81\cdot0{,}6912\cdot66 \approx 265{,}5\\ \mathrm{W/m}.

Passo 4

Calcular a perda por radiação por metro de tubo. Passamos as temperaturas para Kelvin:
T_s = 93 + 273 = 366\\ \mathrm{K},\quad T_{amb} = 21 + 273 = 294\\ \mathrm{K}.
Então
\dot Q_{rad}' = \varepsilon\,\sigma\,A\bigl(T_s^4 - T_{amb}^4\bigr) = 0{,}1 \times 5{,}67\times10^{-8}\times0{,}6912 \bigl(366^4 - 294^4\bigr).
Calculando
366^4 \approx 1{,}7934\times10^{10},\quad 294^4 \approx 0{,}7474\times10^{10},
\dot Q_{rad}' \approx 0{,}1\cdot5{,}67\times10^{-8}\cdot0{,}6912\cdot(1{,}7934-0{,}7474)\times10^{10} \approx 41{,}0\\ \mathrm{W/m}.

Passo 5

Somando as duas contribuições, obtemos a taxa total de calor por metro:
\dot Q' = \dot Q_{conv}' + \dot Q_{rad}' \approx 265{,}5 + 41{,}0 = 306{,}5\\ \mathrm{W/m}.

Resposta

A perda de calor é aproximadamente 306{,}5\\ \mathrm{W} por metro de tubo.

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