Uma esfera de cobre puro, com diâmetro de 30 mm e uma emissividade de 0,50 , está suspensa em um grande forno com as paredes a uma temperatura uniforme de 600^{\circ} \mathrm{C}. Ar escoa ao redor da esfera a uma temperatura de 850^{\circ} \mathrm{C} e a uma velocidade de 7,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
a) Determine a temperatua da esfera no regime estacionário
b) Estime o tempo necessário para a esfera chegar a 5^{\circ} \mathrm{C} da temperatura do regime estacionário, se ela estiver a uma temperatura inicial, uniforme, de 25^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado dá uma esfera de cobre puro de diâmetro \,d=30\text{ mm} e emissividade \varepsilon=0,50, imersa em ar em escoamento forçado a 7{,}5\\ \mathrm{m/s} e temperatura ambiente T_\infty=850\,^\circ\mathrm{C}, com paredes do forno a 600\,^\circ\mathrm{C}.
Conteúdo: troca de calor por convecção forçada e radiação em regime permanente para determinar a temperatura de equilíbrio \,T_s, e método de capacitância térmica (lumped capacitance) para o tempo de aproximação ao regime.

Passo 2

Calcular o coeficiente de convecção h usando correlação de Ranz–Marshall para esfera em escoamento:
\text{Re} = \frac{U\,d}{\nu}, \quad \mathrm{Nu} = 2 + 0{,}6\,\mathrm{Re}^{1/2}\,\mathrm{Pr}^{1/3}, \quad h = \frac{\mathrm{Nu}\,k}{d}.
Tomando propriedades do ar a temperatura filme \approx(1123+T_s)/2\sim 1000\\ \mathrm K: \,k\approx0{,}05\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\;\nu\approx4\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s},\;\mathrm{Pr}\approx0{,}7.
Logo \text{Re}\approx\frac{7{,}5\times0{,}03}{4\times10^{-5}}\approx5600, \mathrm{Nu}\approx2+0{,}6\sqrt{5600}\,0{,}7^{1/3}\approx42, \displaystyle h\approx\frac{42\times0{,}05}{0{,}03}\approx70\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.

Passo 3

No regime permanente equilibra-se a potência de convecção e a de radiação:
h\,A_s\bigl(T_\infty - T_s\bigr) = \varepsilon\,\sigma\,A_s\bigl(T_s^4 - T_{\text{ parede}}^4\bigr),
onde \sigma=5{,}67\times10^{-8}\\ \mathrm{W/(m^2K^4)}, T_\infty=1123\\ \mathrm K, T_{\text{parede}}=873\\ \mathrm K.
Cancelando A_s e escrevendo
70\,(1123 - T_s) =0{,}5\cdot5{,}67\times10^{-8}\bigl(T_s^4 -873^4\bigr),
obtém-se uma equação em T_s que se resolve por tentativa numérica.

Passo 4

Resolvendo
70\,(1123 - T_s) =2{,}835\times10^{-8}\,\bigl(T_s^4 -5{,}809\times10^{11}\bigr)
encontra-se \,T_s\approx982\\ \mathrm K,
isto é
T_s \approx982\\ \mathrm K -273 =709\,^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Para o escoamento transitório usamos o modelo de capacitância (Bi < 0,1):
\mathrm{Bi} = \frac{h\,L_c}{k_{\text{Cu}}} \quad\text{com}\quad L_c = \frac{V}{A} = \frac{d}{6},\quad k_{\text{Cu}}\approx400\\ \mathrm{W/(mK)}.
Calcula-se \mathrm{Bi}\approx\frac{70\times(0{,}03/6)}{400}\approx8,8\times10^{-4}\ll0,1.

Passo 6

A constante de tempo é
\tau = \frac{\rho\,c\,V}{h\,A} = \frac{\rho\,c\,L_c}{h},
com \rho_{\text{Cu}}=8960\\ \mathrm{kg/m^3}, c=380\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Logo
\tau \approx \frac{8960\times380\times(0{,}03/6)}{70} \approx243\\ \mathrm s.

Passo 7

Para chegar a 5\,^\circ\mathrm{C} de T_s, parte-se de T(0)=25\,^\circ\mathrm{C} e usa
T(t)-T_s = \bigl(T(0)-T_s\bigr)\,\exp\bigl(-t/\tau\bigr).
Queremos \bigl|T(t)-T_s\bigr|\le5. Assim
t = -\tau \ln\frac{5}{|25 -709|} \approx -243\\ \ln\frac{5}{684} \approx1200\\ \mathrm{s}\approx20\\ \mathrm{min}.

Resposta

Temperatura de regime estacionário: T_s\approx709\,^\circ\mathrm{C}.
Tempo para ficar a 5\,^\circ\mathrm{C} de T_s: t\approx1200\\ \mathrm{s} ( \approx 20 min).

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