dydx=e^-2xy^3

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial dydx=e^-2xy^3. O conteúdo é equações diferenciais separáveis e vamos precisar isolar as variáveis y e x em lados opostos e integrar.

Passo 2

Separe as variáveis multiplicando ambos os lados por y^3,dx. Assim obtemos a forma magistral de separáveis:
y^3,dy = e^-2x,dx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral y^3,dy = integral e^-2x,dx

Passo 4

À esquerda temos integral y^3dy = y^44 e à direita integral e^-2xdx = -12e^-2x + C.
Reescrevendo com a constante de integração:
y^44 = -tfrac12e^-2x + C

Passo 5

Multiplicando por 4 e definindo C1=4C,
y^4 = -2e^-2x + C1

Passo 6

Extraindo a quarta raiz, chegamos à solução geral:
y(x) = l(C1 - 2e^-2xr)^1/4

Resposta

y(x) = l(C - 2e^-2xr)^1/4

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