Mostre que o triângulo cujos vértices são (3,-3),(-3,3) e (3 raiz3, 3 raiz3) é equilátero.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o triângulo com vértices A(3,-3), B(-3,3) e C(3raiz3,3raiz3) é equilátero. Estamos em geometria analítica e vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano.

Passo 2

Calcular a distância entre A e B.
dAB=raiz(-3-3)^2+(3-(-3))^2=raiz(-6)^2+(6)^2=raiz36+36=6raiz2

Passo 3

Calcular a distância entre A e C.
dAC=raiz(3raiz3-3)^2+(3raiz3-(-3))^2=raizl(3(raiz3-1)r)^2+l(3(raiz3+1)r)^2
=raiz9l((raiz3-1)^2+(raiz3+1)^2r)=3raiz(4-2raiz3+4+2raiz3)=3raiz8=6raiz2

Passo 4

Calcular a distância entre B e C.
dBC=raiz(3raiz3-(-3))^2+(3raiz3-3)^2=raizl(3(raiz3+1)r)^2+l(3(raiz3-1)r)^2
=raiz9l((raiz3+1)^2+(raiz3-1)^2r)=3raiz8=6raiz2

Passo 5

Como dAB=dAC=dBC=6raiz2, todos os lados são iguais e o triângulo é equilátero.

Resposta

O triângulo é equilátero, pois todos os lados medem 6raiz2.

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