dydx=e^-xy ; y(0)=3

Passo 1

O enunciado pede pra encontrar a solução da EDO separável dydx=e^-xy com a condição inicial y(0)=3. Vamos usar separação de variáveis e integração.

Passo 2

Separamos as variáveis multiplicando ambos os lados por y e por dx:
y,dy = e^-x,dx
Integramos os dois lados:
integral y,dy = integral e^-x,dx
No lado esquerdo temos integral y,dy = tfracy^22 e no direito integral e^-x,dx = -e^-x + C. Logo:
y^22 = -e^-x + C

Passo 3

Aplicamos a condição inicial y(0)=3. Substituindo x=0 e y=3 em tfracy^22 = -e^-x + C:
3^22 = -e^0 + C Longrightarrow 92 = -1 + C Longrightarrow C = 112

Passo 4

Substituímos C=tfrac112 na expressão geral e isolamos y:
y^22 = -e^-x + 112 Longrightarrow y^2 = 11 - 2e^-x
Como a condição inicial dá y(0)=3>0, escolhemos o sinal positivo na raiz. Assim a solução particular é obtida e respeita a condição inicial.

Resposta

y(x)=raiz11 - 2e^-x

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