E1. Deseja-se encontrar a força numa pá de um propulsor (navio). Deve-se primeiro decidir que parâmetros podem influenciar esta força:
Diâmetro, d
Velocidade do propulsor, u
Massa específica do fluido, \rho
Revoluções por segundo, N
Viscosidade, \mu
A partir dessas informações, obtenha o(s) número(s) adimensional(is) relacionados a esse fenômeno e projeto.
Passo 1
O enunciado pede: obter os números adimensionais relacionados ao problema da força numa pá de um propulsor, a partir das grandezas fornecidas.
Grandezas fornecidas (com as dimensões fundamentais escritas entre parênteses):
Força: F\bigl([F]=\mathrm{M\,L\,T^{-2}}\bigr).
Diâmetro do propulsor: d\bigl([d]=\mathrm{L}\bigr).
Velocidade do propulsor: u\bigl([u]=\mathrm{L\,T^{-1}}\bigr).
Massa específica do fluido (densidade): \rho\bigl([\rho]=\mathrm{M\,L^{-3}}\bigr).
Revoluções por segundo: N\bigl([N]=\mathrm{T^{-1}}\bigr).
O que se pede: expressar os números adimensionais relevantes que relacionam essas grandezas (ou seja, encontrar os \pi-grupos).
Passo 2
Escolha do procedimento (teorema de Buckingham, sem jargão pesado): existem k=6 grandezas e as dimensões fundamentais envolvidas são M,\;L,\;T (três dimensões). Pelo teorema de Buckingham haverá k-r=6-3=3 números adimensionais independentes.
Vou tomar F como variável dependente (aquela que queremos correlacionar) e escolher três grandezas repetidas (repeating variables) que combinem todas as dimensões e sejam independentes entre si. Uma escolha natural e conveniente é: \rho,\;u,\;d (porque juntos fornecem M,\;L,\;T e são fisicamente significativas).
Logo construiremos três \pi-grupos envolvendo cada uma das grandezas não repetidas (F,\;N,\;\mu) multiplicadas por potências de \rho,\;u,\;d tal que o resultado seja adimensional.
Passo 3
Construção do primeiro [\pi)-grupo envolvendo F.
Proponho
\Pi_1 = F\,\rho^{a}\,u^{b}\,d^{c}.
Agora imponho que \Pi_1 seja adimensional. Escrevendo as dimensões de cada fator:
[F]=\mathrm{M\,L\,T^{-2}},
[\rho^{a}]=\mathrm{M^{a}\,L^{-3a}},
[u^{b}]=\mathrm{L^{b}\,T^{-b}},
[d^{c}]=\mathrm{L^{c}}.
Multiplicando, as potências totais são:
\mathrm{M^{1+a}\,L^{1-3a+b+c}\,T^{-2-b}}.
Para ser adimensional, os expoentes de \mathrm{M},\mathrm{L},\mathrm{T} devem ser zero. Assim:
Interpretação física rápida (sem exageros técnicos): \Pi_1 é um coeficiente de força adimensional — força normalizada pela pressão dinâmica \rho u^2 vezes uma área d^2.]
Passo 4
Construção do segundo [\pi)-grupo envolvendo N.
Proponho
\Pi_2 = N\,\rho^{a}\,u^{b}\,d^{c}.
Dimensões: [N]=\mathrm{T^{-1}}, então a combinação tem dimensão \mathrm{M^{a}\,L^{-3a+b+c}\,T^{-1-b}}.
Impondo adimensionalidade:
Da última equação b=-1\]. Com \(a=0 a equação em L dá -1 + c = 0, então c=1.
Logo
\Pi_2 = N\,u^{-1}\,d^{1}=\frac{N\,d}{u}.
Interpretação: \Pi_2 é uma medida adimensional da rotação versus velocidade de avanço. É o inverso do chamado avanço adimensional J (onde J=\dfrac{u}{N d}); assim \Pi_2=1/J.]
Passo 5
Construção do terceiro [\pi)-grupo envolvendo \mu.
Proponho
\Pi_3 = \mu\,\rho^{a}\,u^{b}\,d^{c}.
Dimensões: [\mu]=\mathrm{M\,L^{-1}\,T^{-1}}, então a combinação tem dimensão \mathrm{M^{1+a}\,L^{-1-3a+b+c}\,T^{-1-b}}.
Impondo adimensionalidade:
Interpretação: \Pi_3 é o inverso do número de Reynolds. De fato o número de Reynolds clássico é \mathrm{Re}=\dfrac{\rho\,u\,d}{\mu}, então \Pi_3=1/\mathrm{Re}.]
Passo 6
Resumo e formas alternativas comumente usadas em propulsão.
Encontramos três grupos independentes: \Pi_1=\dfrac{F}{\rho\,u^{2}\,d^{2}}, \Pi_2=\dfrac{N\,d}{u}, \Pi_3=\dfrac{\mu}{\rho\,u\,d}.
Forma alternativa muito usada na literatura de hélices/propulsores:
definir a velocidade de rotação como N (rev/s) e construir o coeficiente de tração (thrust coefficient)
C_T=\frac{F}{\rho\,N^{2}\,d^{4}}.
Existe relação simples entre nossos grupos e esses parâmetros clássicos. Por exemplo:
Assim a correlação adimensional típica para desempenho de um propulsor pode ser escrita como
\frac{F}{\rho u^{2} d^{2}} \;=\; \Phi\!\left(\frac{N d}{u},\;\frac{\mu}{\rho u d}\right)
ou equivalentemente
C_T \;=\; \Psi\!\left(J,\;\mathrm{Re}\right).
Essas formas mostram que, se se variar a rotação e a velocidade de avanço, a força adimensionalizada depende apenas de \Pi_2 e \Pi_3 (ou de J e \mathrm{Re}).