E1. Deseja-se encontrar a força numa pá de um propulsor (navio). Deve-se primeiro decidir que parâmetros podem influenciar esta força:
Diâmetro, d
Velocidade do propulsor, u
Massa específica do fluido, \rho
Revoluções por segundo, N
Viscosidade, \mu
A partir dessas informações, obtenha o(s) número(s) adimensional(is) relacionados a esse fenômeno e projeto.

Passo 1

O enunciado pede: obter os números adimensionais relacionados ao problema da força numa pá de um propulsor, a partir das grandezas fornecidas.
Grandezas fornecidas (com as dimensões fundamentais escritas entre parênteses):
  • Força: F \bigl([F]=\mathrm{M\,L\,T^{-2}}\bigr).
  • Diâmetro do propulsor: d \bigl([d]=\mathrm{L}\bigr).
  • Velocidade do propulsor: u \bigl([u]=\mathrm{L\,T^{-1}}\bigr).
  • Massa específica do fluido (densidade): \rho \bigl([\rho]=\mathrm{M\,L^{-3}}\bigr).
  • Revoluções por segundo: N \bigl([N]=\mathrm{T^{-1}}\bigr).
  • Viscosidade dinâmica: \mu \bigl([\mu]=\mathrm{M\,L^{-1}\,T^{-1}}\bigr).
O que se pede: expressar os números adimensionais relevantes que relacionam essas grandezas (ou seja, encontrar os \pi-grupos).

Passo 2

Escolha do procedimento (teorema de Buckingham, sem jargão pesado): existem k=6 grandezas e as dimensões fundamentais envolvidas são M,\;L,\;T (três dimensões). Pelo teorema de Buckingham haverá k-r=6-3=3 números adimensionais independentes.
Vou tomar F como variável dependente (aquela que queremos correlacionar) e escolher três grandezas repetidas (repeating variables) que combinem todas as dimensões e sejam independentes entre si. Uma escolha natural e conveniente é:
\rho,\;u,\;d (porque juntos fornecem M,\;L,\;T e são fisicamente significativas).
Logo construiremos três \pi-grupos envolvendo cada uma das grandezas não repetidas ( F,\;N,\;\mu) multiplicadas por potências de \rho,\;u,\;d tal que o resultado seja adimensional.

Passo 3

Construção do primeiro [\pi)-grupo envolvendo F.
Proponho
\Pi_1 = F\,\rho^{a}\,u^{b}\,d^{c}.
Agora imponho que \Pi_1 seja adimensional. Escrevendo as dimensões de cada fator:
  • [F]=\mathrm{M\,L\,T^{-2}},
  • [\rho^{a}]=\mathrm{M^{a}\,L^{-3a}},
  • [u^{b}]=\mathrm{L^{b}\,T^{-b}},
  • [d^{c}]=\mathrm{L^{c}}.
Multiplicando, as potências totais são:
\mathrm{M^{1+a}\,L^{1-3a+b+c}\,T^{-2-b}}.
Para ser adimensional, os expoentes de \mathrm{M},\mathrm{L},\mathrm{T} devem ser zero. Assim:
\begin{cases} 1+a=0,\\[4pt] 1-3a+b+c=0,\\[4pt] -2-b=0. \end{cases}
Resolvendo:
\;a=-1,\; b=-2.\] Substituindo na equação para \(L:
1-3(-1)+(-2)+c=0 \quad\Rightarrow\quad 1+3-2+c=0 \quad\Rightarrow\quad c=-2.
Portanto
\Pi_1 = F\,\rho^{-1}\,u^{-2}\,d^{-2}=\frac{F}{\rho\,u^{2}\,d^{2}}.
Interpretação física rápida (sem exageros técnicos): \Pi_1 é um coeficiente de força adimensional — força normalizada pela pressão dinâmica \rho u^2 vezes uma área d^2.]

Passo 4

Construção do segundo [\pi)-grupo envolvendo N.
Proponho
\Pi_2 = N\,\rho^{a}\,u^{b}\,d^{c}.
Dimensões:
[N]=\mathrm{T^{-1}}, então a combinação tem dimensão
\mathrm{M^{a}\,L^{-3a+b+c}\,T^{-1-b}}.
Impondo adimensionalidade:
\begin{cases} a=0,\\[4pt] -3a+b+c=0,\\[4pt] -1-b=0. \end{cases}
Da última equação b=-1\]. Com \(a=0 a equação em L -1 + c = 0, então c=1.
Logo
\Pi_2 = N\,u^{-1}\,d^{1}=\frac{N\,d}{u}.
Interpretação: \Pi_2 é uma medida adimensional da rotação versus velocidade de avanço. É o inverso do chamado avanço adimensional J (onde J=\dfrac{u}{N d}); assim \Pi_2=1/J.]

Passo 5

Construção do terceiro [\pi)-grupo envolvendo \mu.
Proponho
\Pi_3 = \mu\,\rho^{a}\,u^{b}\,d^{c}.
Dimensões:
[\mu]=\mathrm{M\,L^{-1}\,T^{-1}}, então a combinação tem dimensão
\mathrm{M^{1+a}\,L^{-1-3a+b+c}\,T^{-1-b}}.
Impondo adimensionalidade:
\begin{cases} 1+a=0,\\[4pt] -1-3a+b+c=0,\\[4pt] -1-b=0. \end{cases}
Da terceira equação b=-1\]. Da primeira \(a=-1. Substituindo na equação em L:
-1-3(-1)+(-1)+c=0 \quad\Rightarrow\quad -1+3-1+c=0 \quad\Rightarrow\quad c=-1.
Portanto
\Pi_3 = \mu\,\rho^{-1}\,u^{-1}\,d^{-1}=\frac{\mu}{\rho\,u\,d}.
Interpretação: \Pi_3 é o inverso do número de Reynolds. De fato o número de Reynolds clássico é \mathrm{Re}=\dfrac{\rho\,u\,d}{\mu}, então \Pi_3=1/\mathrm{Re}.]

Passo 6

Resumo e formas alternativas comumente usadas em propulsão.
  • Encontramos três grupos independentes:
    \Pi_1=\dfrac{F}{\rho\,u^{2}\,d^{2}},
    \Pi_2=\dfrac{N\,d}{u},
    \Pi_3=\dfrac{\mu}{\rho\,u\,d}.
  • Forma alternativa muito usada na literatura de hélices/propulsores:
    definir a velocidade de rotação como N (rev/s) e construir o coeficiente de tração (thrust coefficient)
C_T=\frac{F}{\rho\,N^{2}\,d^{4}}.
Existe relação simples entre nossos grupos e esses parâmetros clássicos. Por exemplo:
\Pi_1=\frac{F}{\rho\,u^{2}\,d^{2}} = C_T\left(\frac{N\,d}{u}\right)^{2} = C_T\,\Pi_2^{2},
e
\Pi_3=\frac{\mu}{\rho\,u\,d}=\frac{1}{\mathrm{Re}},\qquad J=\frac{u}{N\,d}=\frac{1}{\Pi_2}.
Assim a correlação adimensional típica para desempenho de um propulsor pode ser escrita como
\frac{F}{\rho u^{2} d^{2}} \;=\; \Phi\!\left(\frac{N d}{u},\;\frac{\mu}{\rho u d}\right)
ou equivalentemente
C_T \;=\; \Psi\!\left(J,\;\mathrm{Re}\right).
Essas formas mostram que, se se variar a rotação e a velocidade de avanço, a força adimensionalizada depende apenas de \Pi_2 e \Pi_3 (ou de J e \mathrm{Re}).

Resposta

\Pi_1=\frac{F}{\rho\,u^{2}\,d^{2}}
\Pi_2=\frac{N\,d}{u}
\Pi_3=\frac{\mu}{\rho\,u\,d}

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