E2. A descarga Q através de um orifício é função do diâmetro d, da diferença de pressão p, da massa específica \rho, e da viscosidade dinâmica \mu, mostre que:
Q=\frac{d^{2} p^{1 / 2}}{\rho^{1 / 2}} \varphi\left(\frac{d \rho^{1 / 2} p^{1 / 2}}{\mu}\right)

Passo 1

O enunciado dá que a vazão (descarga) Q depende das quatro grandezas: o diâmetro do orifício d, a diferença de pressão p, a massa específica \rho e a viscosidade dinâmica \mu. Ou seja, temos a relação funcional desconhecida
Q = f(d,p,\rho,\mu).
A tarefa é mostrar que essa dependência pode ser escrita na forma
Q=\frac{d^{2} p^{1/2}}{\rho^{1/2}}\,\varphi\!\left(\frac{d \rho^{1/2} p^{1/2}}{\mu}\right),
onde \varphi é uma função adimensional desconhecida.

Passo 2

Primeiro vamos listar as dimensões (no sistema fundamental massa, comprimento, tempo) de cada grandeza — isto é essencial. Em notação de expoentes de M (massa), L (comprimento) e T (tempo):
  • Q (vazão volumétrica) tem dimensão de volume por tempo:
[Q] = L^{3}T^{-1}.
  • d (diâmetro) tem dimensão:
[d] = L.
  • p (pressão) tem dimensão de força por área, ou massa por comprimento por tempo ao quadrado:
[p] = M\,L^{-1}T^{-2}.
  • \rho (massa específica) tem dimensão:
[\rho] = M\,L^{-3}.
  • \mu (viscosidade dinâmica) tem dimensão de pressão·tempo, isto é:
[\mu] = M\,L^{-1}T^{-1}.

Passo 3

Agora aplicamos a ideia do método de análise dimensional (teorema de Buckingham): com n variáveis físicas e k dimensões fundamentais (aqui k=3: M,L,T), o número de grupos adimensionais independentes é n-k. Temos n=5 ( Q,d,p,\rho,\mu), logo existem 5-3=2 grupos adimensionais independentes. Isso significa que podemos escrever a dependência como uma relação entre um desses grupos e o outro; tipicamente isolamos Q como um prefator dimensional vezes uma função adimensional de outro grupo adimensional.

Passo 4

Vamos construir um grupo adimensional que envolva Q\). Procuro expoentes \(a,b,c\) tais que a grandeza \[\Pi_{1} = Q\, d^{a}\, p^{b}\, \rho^{c}
seja adimensional. Escrevendo a dimensão de \Pi_{1} e impondo que os expoentes de M,L,T sejam zero:
Dimensões combinadas:
  • expoente de M: 0 + b + c (pois Q não tem M);
  • expoente de L: 3 + a - b - 3c;
  • expoente de T: -1 - 2b.
Impondo nulidade:
\begin{cases} b + c = 0,\\[4pt] 3 + a - b - 3c = 0,\\[4pt] -1 - 2b = 0. \end{cases}
Da terceira equação vem imediatamente b = -\tfrac{1}{2}\]. Então \(c = -b = \tfrac{1}{2}. Substitindo na segunda:
3 + a - (-\tfrac{1}{2}) - 3(\tfrac{1}{2}) = 0 \quad\Rightarrow\quad 3 + a + \tfrac{1}{2} - \tfrac{3}{2} = 0 \quad\Rightarrow\quad 2 + a = 0
logo a = -2.
Portanto
\Pi_{1} = Q\, d^{-2}\, p^{-1/2}\, \rho^{1/2} = \frac{Q\,\rho^{1/2}}{d^{2} p^{1/2}}.
Isolando Q obtemos a forma parcial
Q = d^{2} p^{1/2} \rho^{-1/2}\; \Pi_{1}.
Como \Pi_{1} é adimensional, podemos escrevê-la como uma função adimensional \varphi(\cdot) de outro grupo adimensional.]

Passo 5

Agora construímos o segundo grupo adimensional usando \mu\) (ou seja um grupo que envolva \(\mu\) e possivelmente \(d,p,\rho\)). Procuro expoentes \(\alpha,\beta,\gamma\) tais que \[\Pi_{2} = \mu\, d^{\alpha}\, p^{\beta}\, \rho^{\gamma}
seja adimensional. Fazendo a mesma contagem de expoentes:
Dimensões combinadas para \Pi_{2}:
  • M: 1 + \beta + \gamma (o 1 vem de \mu);
  • L: -1 + \alpha - \beta - 3\gamma;
  • T: -1 - 2\beta.
Impondo nulidade:
\begin{cases} 1 + \beta + \gamma = 0,\\[4pt] -1 + \alpha - \beta - 3\gamma = 0,\\[4pt] -1 - 2\beta = 0. \end{cases}
Da terceira equação vem \beta = -\tfrac{1}{2}\]. Então da primeira \(\gamma = -1 - \beta = -1 + \tfrac{1}{2} = -\tfrac{1}{2}. Substituindo na segunda:
-1 + \alpha - (-\tfrac{1}{2}) - 3(-\tfrac{1}{2}) = 0 \quad\Rightarrow\quad -1 + \alpha + \tfrac{1}{2} + \tfrac{3}{2} = 0 \quad\Rightarrow\quad \alpha + 1 = 0
logo \alpha = -1.
Assim
\Pi_{2} = \mu\, d^{-1}\, p^{-1/2}\, \rho^{-1/2} = \frac{\mu}{d\, p^{1/2}\, \rho^{1/2}}.
O inverso de \Pi_{2} é mais convencional como argumento de uma função adimensional:
\Pi_{2}^{-1} = \frac{d\, p^{1/2}\, \rho^{1/2}}{\mu}.]

Passo 6

Como existem exatamente dois grupos adimensionais independentes, a relação entre as grandezas pode ser escrita como
\Pi_{1} = \Phi(\Pi_{2}),
onde \Phi é uma função adimensional arbitrária. Voltando à expressão obtida para Q no Passo 4 e substituindo \Pi_{1} por \Phi(\Pi_{2}), obtemos
Q = d^{2} p^{1/2} \rho^{-1/2}\; \Phi\!\bigg(\frac{\mu}{d\, p^{1/2}\, \rho^{1/2}}\bigg).
Mudando a função adimensional para usar \Pi_{2}^{-1} (que é \dfrac{d\, p^{1/2}\, \rho^{1/2}}{\mu}) obtemos a forma mais habitual
Q = d^{2} p^{1/2} \rho^{-1/2}\; \varphi\!\left(\frac{d\, p^{1/2}\, \rho^{1/2}}{\mu}\right),
onde \varphi é uma função adimensional (relacionada a \Phi pela troca de argumento). Essa é exatamente a forma pedida. Fisicamente, o argumento de \varphi é um número adimensional análogo a um número de Reynolds baseado em pressão/velocidade característica, e \varphi incorpora efeitos de perda e regime viscoso/inercial.

Resposta

Q=\frac{d^{2} p^{1/2}}{\rho^{1/2}} \varphi\!\left(\frac{d \rho^{1/2} p^{1/2}}{\mu}\right)

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