E2. A descarga Q através de um orifício é função do diâmetro d, da diferença de pressão p, da massa específica \rho, e da viscosidade dinâmica \mu, mostre que:
O enunciado dá que a vazão (descarga) Q depende das quatro grandezas: o diâmetro do orifício d, a diferença de pressão p, a massa específica \rho e a viscosidade dinâmica \mu. Ou seja, temos a relação funcional desconhecida
Q = f(d,p,\rho,\mu).
A tarefa é mostrar que essa dependência pode ser escrita na forma
onde \varphi é uma função adimensional desconhecida.
Passo 2
Primeiro vamos listar as dimensões (no sistema fundamental massa, comprimento, tempo) de cada grandeza — isto é essencial. Em notação de expoentes de M (massa), L (comprimento) e T (tempo):
Q (vazão volumétrica) tem dimensão de volume por tempo:
[Q] = L^{3}T^{-1}.
d (diâmetro) tem dimensão:
[d] = L.
p (pressão) tem dimensão de força por área, ou massa por comprimento por tempo ao quadrado:
[p] = M\,L^{-1}T^{-2}.
\rho (massa específica) tem dimensão:
[\rho] = M\,L^{-3}.
\mu (viscosidade dinâmica) tem dimensão de pressão·tempo, isto é:
[\mu] = M\,L^{-1}T^{-1}.
Passo 3
Agora aplicamos a ideia do método de análise dimensional (teorema de Buckingham): com n variáveis físicas e k dimensões fundamentais (aqui k=3: M,L,T), o número de grupos adimensionais independentes é n-k. Temos n=5 (Q,d,p,\rho,\mu), logo existem 5-3=2 grupos adimensionais independentes. Isso significa que podemos escrever a dependência como uma relação entre um desses grupos e o outro; tipicamente isolamos Q como um prefator dimensional vezes uma função adimensional de outro grupo adimensional.
Passo 4
Vamos construir um grupo adimensional que envolva Q\). Procuro expoentes \(a,b,c\) tais que a grandeza
\[\Pi_{1} = Q\, d^{a}\, p^{b}\, \rho^{c}
seja adimensional. Escrevendo a dimensão de \Pi_{1} e impondo que os expoentes de M,L,T sejam zero:
Dimensões combinadas:
expoente de M: 0 + b + c (pois Q não tem M);
expoente de L: 3 + a - b - 3c;
expoente de T: -1 - 2b.
Impondo nulidade:
\begin{cases} b + c = 0,\\[4pt] 3 + a - b - 3c = 0,\\[4pt] -1 - 2b = 0. \end{cases}
Da terceira equação vem imediatamente b = -\tfrac{1}{2}\]. Então \(c = -b = \tfrac{1}{2}. Substitindo na segunda:
3 + a - (-\tfrac{1}{2}) - 3(\tfrac{1}{2}) = 0 \quad\Rightarrow\quad 3 + a + \tfrac{1}{2} - \tfrac{3}{2} = 0 \quad\Rightarrow\quad 2 + a = 0
Como \Pi_{1} é adimensional, podemos escrevê-la como uma função adimensional \varphi(\cdot) de outro grupo adimensional.]
Passo 5
Agora construímos o segundo grupo adimensional usando \mu\) (ou seja um grupo que envolva \(\mu\) e possivelmente \(d,p,\rho\)). Procuro expoentes \(\alpha,\beta,\gamma\) tais que
\[\Pi_{2} = \mu\, d^{\alpha}\, p^{\beta}\, \rho^{\gamma}
seja adimensional. Fazendo a mesma contagem de expoentes:
onde \varphi é uma função adimensional (relacionada a \Phi pela troca de argumento). Essa é exatamente a forma pedida. Fisicamente, o argumento de \varphi é um número adimensional análogo a um número de Reynolds baseado em pressão/velocidade característica, e \varphi incorpora efeitos de perda e regime viscoso/inercial.