R14 Se dois planos não se intersectam, quais as possibilidades para a posição relativa?
Passo 1
O enunciado diz: “Se dois planos não se intersectam, quais as possibilidades para a posição relativa?”
Informações dadas: temos dois planos e sabemos apenas que eles não se intersectam (isto é, não têm nenhum ponto em comum).
Pergunta: quais são as possibilidades de posição relativa desses dois planos, dado que não se intersectam?
Informações dadas: temos dois planos e sabemos apenas que eles não se intersectam (isto é, não têm nenhum ponto em comum).
Pergunta: quais são as possibilidades de posição relativa desses dois planos, dado que não se intersectam?
Passo 2
Vou trabalhar no espaço euclidiano tridimensional
(o contexto usual quando falamos de “planos”). Primeiro vou lembrar definições e fatos básicos que vou usar depois.
Definição de plano por equação normal: um plano pode ser escrito como
onde o vetor normal ao plano é
. Esse vetor indica a orientação do plano — dois planos com vetores normais proporcionais têm a mesma orientação (ou seja, são paralelos ou coincidentes).
Fato linear simples (intuição): duas equações lineares independentes em três incógnitas normalmente têm uma família de soluções de dimensão
(uma reta). Geometricamente, isso corresponde a dois planos que se cruzam formando uma reta.
Agora, com essas ideias: para dois planos
e
definidas por
existem basicamente duas situações para os vetores normais
e
:
- eles não são proporcionais (ou seja, não estão na mesma reta em
); - eles são proporcionais.
Passo 3
Analiso a primeira situação (normais não proporcionais). Se
não é múltiplo escalar de
, então as duas equações formam um sistema linear de duas equações e três incógnitas com matriz de coeficientes de posto
. Um sistema assim tem espaço solução de dimensão
, ou seja, existe uma reta de pontos que satisfazem ambas as equações. Geometricamente, isso significa que os dois planos se intersectam ao longo de uma reta. Portanto, nessa situação eles se intersectam — mas a hipótese do problema é que eles não se intersectam, então essa situação fica fora do que estamos procurando.
Passo 4
Analiso a segunda situação (normais proporcionais). Suponha que exista
tal que
Isso significa que os planos têm a mesma orientação — são “paralelos” no sentido de direção. Nessa situação há duas subpossibilidades, dependendo dos termos constantes
e
:
Subcaso A — coincidência: se ainda vale
então multiplicando a equação de
por
obtemos exatamente a equação de
. Ou seja, as duas equações descrevem o mesmo conjunto de pontos: os planos coincidem (são o mesmo plano). Nesse caso eles têm infinitos pontos em comum (na verdade todos os pontos do plano), logo se intersectam — logo também não satisfazem “não se intersectam”.
Subcaso B — paralelos distintos: se, entretanto,
, então não existe ponto
que satisfaça simultaneamente as duas equações (pois se um ponto satisfizesse
, ao multiplicarmos por
obteríamos um valor de
diferente do que a equação exige). Logo as duas superfícies têm a mesma direção/normal, mas estão deslocadas — são planos paralelos distintos e não têm nenhum ponto em comum.
Passo 5
Resumo lógico: duas possibilidades gerais para dois planos em
são
- intersectam-se em uma reta (normais não proporcionais);
- têm a mesma normal (normais proporcionais), e aí ou coincidem (mesmo plano) ou são paralelos distintos (sem interseção).
Dado que o enunciado impõe que eles não se intersectam (nenhum ponto em comum), descartamos os casos em que há interseção (reta) e também descartamos a coincidência (pois coincide significa interseção por toda parte). Resta portanto apenas a possibilidade dos planos serem paralelos e distintos.
Resposta
Dois planos que não se intersectam em
são planos paralelos distintos (ou seja, têm vetores normais proporcionais, mas não coincidem).