R14 Se dois planos não se intersectam, quais as possibilidades para a posição relativa?

Passo 1

O enunciado diz: “Se dois planos não se intersectam, quais as possibilidades para a posição relativa?”
Informações dadas: temos dois planos e sabemos apenas que eles não se intersectam (isto é, não têm nenhum ponto em comum).
Pergunta: quais são as possibilidades de posição relativa desses dois planos, dado que não se intersectam?

Passo 2

Vou trabalhar no espaço euclidiano tridimensional \mathbb{R}^3 (o contexto usual quando falamos de “planos”). Primeiro vou lembrar definições e fatos básicos que vou usar depois.
Definição de plano por equação normal: um plano pode ser escrito como
ax+by+cz=d,
onde o vetor normal ao plano é (a,b,c). Esse vetor indica a orientação do plano — dois planos com vetores normais proporcionais têm a mesma orientação (ou seja, são paralelos ou coincidentes).
Fato linear simples (intuição): duas equações lineares independentes em três incógnitas normalmente têm uma família de soluções de dimensão 1 (uma reta). Geometricamente, isso corresponde a dois planos que se cruzam formando uma reta.
Agora, com essas ideias: para dois planos \Pi_1 e \Pi_2 definidas por
\Pi_1: a_1x+b_1y+c_1z=d_1
\Pi_2: a_2x+b_2y+c_2z=d_2,
existem basicamente duas situações para os vetores normais (a_1,b_1,c_1) e (a_2,b_2,c_2):
  • eles não são proporcionais (ou seja, não estão na mesma reta em \mathbb{R}^3);
  • eles são proporcionais.

Passo 3

Analiso a primeira situação (normais não proporcionais). Se (a_1,b_1,c_1) não é múltiplo escalar de (a_2,b_2,c_2), então as duas equações formam um sistema linear de duas equações e três incógnitas com matriz de coeficientes de posto 2. Um sistema assim tem espaço solução de dimensão 3-2=1, ou seja, existe uma reta de pontos que satisfazem ambas as equações. Geometricamente, isso significa que os dois planos se intersectam ao longo de uma reta. Portanto, nessa situação eles se intersectam — mas a hipótese do problema é que eles não se intersectam, então essa situação fica fora do que estamos procurando.

Passo 4

Analiso a segunda situação (normais proporcionais). Suponha que exista \lambda\neq 0 tal que
(a_2,b_2,c_2)=\lambda\,(a_1,b_1,c_1).
Isso significa que os planos têm a mesma orientação — são “paralelos” no sentido de direção. Nessa situação há duas subpossibilidades, dependendo dos termos constantes d_1 e d_2:
Subcaso A — coincidência: se ainda vale
d_2=\lambda d_1,
então multiplicando a equação de \Pi_1 por \lambda obtemos exatamente a equação de \Pi_2. Ou seja, as duas equações descrevem o mesmo conjunto de pontos: os planos coincidem (são o mesmo plano). Nesse caso eles têm infinitos pontos em comum (na verdade todos os pontos do plano), logo se intersectam — logo também não satisfazem “não se intersectam”.
Subcaso B — paralelos distintos: se, entretanto, d_2\neq\lambda d_1, então não existe ponto (x,y,z) que satisfaça simultaneamente as duas equações (pois se um ponto satisfizesse \Pi_1, ao multiplicarmos por \lambda obteríamos um valor de d_2 diferente do que a equação exige). Logo as duas superfícies têm a mesma direção/normal, mas estão deslocadas — são planos paralelos distintos e não têm nenhum ponto em comum.

Passo 5

Resumo lógico: duas possibilidades gerais para dois planos em \mathbb{R}^3 são
  • intersectam-se em uma reta (normais não proporcionais);
  • têm a mesma normal (normais proporcionais), e aí ou coincidem (mesmo plano) ou são paralelos distintos (sem interseção).
Dado que o enunciado impõe que eles não se intersectam (nenhum ponto em comum), descartamos os casos em que há interseção (reta) e também descartamos a coincidência (pois coincide significa interseção por toda parte). Resta portanto apenas a possibilidade dos planos serem paralelos e distintos.

Resposta

Dois planos que não se intersectam em \mathbb{R}^3 são planos paralelos distintos (ou seja, têm vetores normais proporcionais, mas não coincidem).

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