Qual é o trabalho necessário para que a velocidade de um elétron aumente de zero para
0,990 c?

Passo 1

O que o problema pede: calcular o trabalho necessário para acelerar um elétron de velocidade inicial zero até a velocidade final v=0,990\,c.
Dados relevantes (fornecidos ou conhecidos):
m_e = 9,10938356\times10^{-31}\,\mathrm{kg} (massa do elétron)
v = 0,990\,c (velocidade final)
c = 2,998\times10^{8}\,\mathrm{m/s} (velocidade da luz — valor conhecido)
Também é útil conhecer a energia de repouso do elétron: m_e c^2 = 511\,\mathrm{keV} = 8,187\times10^{-14}\,\mathrm{J}.
Pergunta explícita: qual é o trabalho W necessário? (Em física, trabalho para acelerar uma partícula sem forças dissipativas = variação da energia cinética.)

Passo 2

Conceito físico e fórmula que vamos usar (explicação didática): em regimes relativísticos a expressão para energia total de uma partícula é
E = \gamma m_e c^2,
onde \gamma (fator de Lorentz) mede quanto efeitos relativísticos aumentam a energia. A energia de repouso (quando a partícula está em repouso) é
E_0 = m_e c^2.
A energia cinética relativística é a diferença entre energia total e energia de repouso:
K = E - E_0 = (\gamma - 1)\,m_e c^2.
O trabalho W necessário para acelerar a partícula do repouso até v é exatamente essa energia cinética:
W = K = (\gamma - 1)\,m_e c^2.
Breve explicação do que é \gamma: é dado por
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}}.
Isso surge da teoria da relatividade especial; intuitivamente, conforme v se aproxima de c, \gamma cresce muito e a energia exigida para aumentar a velocidade cresce.

Passo 3

Calculando o fator \gamma para v=0,990\,c. Primeiro calculemos (v/c)^2:
\left(\frac{v}{c}\right)^2 = (0,990)^2 = 0,9801.
Então
1-(v/c)^2 = 1 - 0,9801 = 0,0199.
Agora a raiz quadrada:
\sqrt{0,0199} \approx 0,141067.
Portanto
\gamma = \frac{1}{0,141067} \approx 7,088812.

Passo 4

Calcule a diferença \gamma-1, que entra na energia cinética:
\gamma - 1 \approx 7,088812 - 1 = 6,088812.
Isso significa que a energia total é cerca de 7,09 vezes a energia de repouso, então a energia cinética é cerca de 6,09 vezes a energia de repouso.

Passo 5

Calcule o trabalho em joules usando m_e c^2 em joules. Usamos m_e c^2 = 8,187\times10^{-14}\,\mathrm{J}. Então
W = (\gamma-1)\,m_e c^2 \approx 6,088812 \times 8,187\times10^{-14}\,\mathrm{J}.
Multiplicando:
6,088812 \times 8,187 \approx 49,858,
portanto
W \approx 4,9858\times10^{-13}\,\mathrm{J}.
Arredondando razoavelmente (duas ou três casas significativas) fica
W \approx 4,99\times10^{-13}\,\mathrm{J}.

Passo 6

Conversão para unidades mais usuais em física de partículas (eletronvolts). A relação é 1\,\mathrm{eV}=1,602176634\times10^{-19}\,\mathrm{J}. Então
W \;[\mathrm{eV}] = \frac{4,9858\times10^{-13}\,\mathrm{J}}{1,602176634\times10^{-19}\,\mathrm{J/eV}} \approx 3,1109\times10^{6}\,\mathrm{eV}.
Em megaelectronvolts:
W \approx 3,11\,\mathrm{MeV}.
Observação prática: também poderíamos ter feito direto (\gamma-1)\times 511\,\mathrm{keV} \approx 6,088812\times511\,\mathrm{keV}\approx3111\,\mathrm{keV}=3,11\,\mathrm{MeV}.

Resposta

4,99\times10^{-13}\,\mathrm{J}
3,11\,\mathrm{MeV}

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