Qual é o trabalho necessário para que a velocidade de um elétron aumente de zero para
?
Passo 1
O que o problema pede: calcular o trabalho necessário para acelerar um elétron de velocidade inicial zero até a velocidade final
.
Dados relevantes (fornecidos ou conhecidos):
(massa do elétron)
(velocidade final)
(velocidade da luz — valor conhecido)
Também é útil conhecer a energia de repouso do elétron: .
Pergunta explícita: qual é o trabalho necessário? (Em física, trabalho para acelerar uma partícula sem forças dissipativas = variação da energia cinética.)
Dados relevantes (fornecidos ou conhecidos):
Também é útil conhecer a energia de repouso do elétron:
Pergunta explícita: qual é o trabalho
Passo 2
Conceito físico e fórmula que vamos usar (explicação didática): em regimes relativísticos a expressão para energia total de uma partícula é
onde
(fator de Lorentz) mede quanto efeitos relativísticos aumentam a energia. A energia de repouso (quando a partícula está em repouso) é
A energia cinética relativística é a diferença entre energia total e energia de repouso:
O trabalho
necessário para acelerar a partícula do repouso até
é exatamente essa energia cinética:
Breve explicação do que é
: é dado por
Isso surge da teoria da relatividade especial; intuitivamente, conforme
se aproxima de
,
cresce muito e a energia exigida para aumentar a velocidade cresce.
Passo 3
Calculando o fator
para
. Primeiro calculemos
:
Então
Agora a raiz quadrada:
Portanto
Passo 4
Calcule a diferença
, que entra na energia cinética:
Isso significa que a energia total é cerca de
vezes a energia de repouso, então a energia cinética é cerca de
vezes a energia de repouso.
Passo 5
Calcule o trabalho em joules usando
em joules. Usamos
. Então
Multiplicando:
portanto
Arredondando razoavelmente (duas ou três casas significativas) fica
Passo 6
Conversão para unidades mais usuais em física de partículas (eletronvolts). A relação é
. Então
Em megaelectronvolts:
Observação prática: também poderíamos ter feito direto
.