(e2) integral 11+tan x d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral indefinida integral 11+tan x,dx. O assunto é integração de funções trigonométricas e vamos precisar reescrever tan x em termos de sin x e cos x para simplificar a expressão.

Passo 2

Usamos a relação tan x = sin xcos x. Portanto, a integral vira integral 11 + sin xcos x,dx. Multiplicando numerador e denominador por cos x, obtemos integral cos xsin x + cos x,dx.

Passo 3

Para resolver integral cos xsin x + cos x,dx de forma inteligente, definimos também a integral auxiliar J = integral sin xsin x + cos x,dx. Note que a soma dessas integrais dá integral 1,dx, ou seja, I + J = x + C1, onde I é a integral original transformada.

Passo 4

Também podemos calcular I - J. Observando que cos x - sin x é a derivada de sin x + cos x, temos
I - J = integral cos x - sin xsin x + cos x,dx = integral d(sin x + cos x)sin x + cos x = lnl|sin x + cos xr| + C2

Passo 5

Com o sistema
I + J = x + C1, I - J = lnl|sin x + cos xr| + C2,
somamos as duas equações e dividimos por 2 para isolar I:
I = x + lnl|sin x + cos xr|2 + C
Isso fornece a solução da integral original.

Resposta

x2 + 12lnl|sin x + cos xr| + C

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