Nos problemas 31 a 35, encontre a solução geral para cada equação diferencial, sabendo que y1 é uma solução da EDO linear homogênea associada a cada uma dessas EDOs.
x^2 y^prime prime-6 x y^prime+12 y=x^3 ; y1=x^3

Passo 1

Estamos com uma EDO de Euler (Cauchy–Euler) não homogenéa:
Conteúdo: EDO linear de segunda ordem com coeficientes variáveis do tipo Cauchy–Euler. Vamos precisar:
  1. achar a solução geral da homogênea associada;
  2. encontrar uma solução particular da não homogênea.

Passo 2

Para a equação homogênea associada
x^2y''-6x y'+12y=0
assumimos uma solução do tipo y=x^r. Substituindo:
r(r-1)-6r+12=0
r^2-7r+12=(r-3)(r-4)=0
Logo r=3 e r=4, e a solução geral da homogênea é
yh=C1x^3+C2x^4

Passo 3

Para achar uma solução particular yp da não homogênea
x^2y''-6x y'+12y=x^3,
notamos que x^3 é solução da homogênea (multiplicidade 1), então tentamos
yp=A x^3,ln(x)
Calculamos:
yp'=A x^2(3,ln(x)+1),
yp''=A x igl(6ln(x)+5r)
Substituindo na EDO:
x^2yp''-6x yp'+12yp=A x^3 igl[(6ln(x)+5)-6(3ln(x)+1)+12ln(x)r] =A x^3(-1)=-A x^3
Para dar x^3 precisamos -A x^3=x^3, logo A=-1 e
yp=-x^3ln(x)

Passo 4

Portanto, a solução geral da EDO original é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=C1x^3+C2x^4-x^3ln(x)

Resposta

y(x)=C1x^3+C2x^4-x^3ln(x)

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