Nos problemas 17 a 30, encontre solução geral para equação diferencial usando algum método estudado em sala.
Passo 1
O exercício pede para encontrar a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
O conteúdo envolve solução da parte homogênea pela equação característica e busca de solução particular por método dos coeficientes a determinar (caso de raiz dupla).
Passo 2
Para a parte homogênea, escrevemos a equação característica associada
Observe que isso é um quadrado perfeito:
Logo temos uma raiz dupla em
. Quando a raiz
tem multiplicidade 2, a solução homogênea é
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
para o termo forçante
. Como
aparece na homogênea com multiplicidade 2, multiplicamos por
e supomos
onde
é constante a determinar.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
: definindo
, temos
Como
,
e
. Substituindo na equação deixa-se todo termo em fator de
e obtém-se
Igualando a
vem
Passo 5
Reunindo as soluções homogênea e particular, a solução geral é
Resposta
y(x) = C_1 e^{-2x} + C_2 x e^{-2x} + \tfrac32 x^2 e^{-2x}