Nos problemas 17 a 30, encontre solução geral para equação diferencial usando algum método estudado em sala.
y^prime prime+4 y^prime+4 y=3 e^-2 x

Passo 1

O exercício pede para encontrar a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 4y' + 4y = 3e^-2x
O conteúdo envolve solução da parte homogênea pela equação característica e busca de solução particular por método dos coeficientes a determinar (caso de raiz dupla).

Passo 2

Para a parte homogênea, escrevemos a equação característica associada
r^2 + 4r + 4 = 0
Observe que isso é um quadrado perfeito:
(r + 2)^2 = 0
Logo temos uma raiz dupla em r = -2. Quando a raiz r tem multiplicidade 2, a solução homogênea é
yh = C1 e^-2x + C2 x e^-2x

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular yp para o termo forçante 3e^-2x. Como e^-2x aparece na homogênea com multiplicidade 2, multiplicamos por x^2 e supomos
yp = A x^2 e^-2x
onde A é constante a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp: definindo f(x)=x^2, temos
yp = A f(x)e^-2x, yp' = Aigl(f'(x) - 2f(x)r)e^-2x, yp'' = Aigl(f''(x) - 4f'(x) + 4f(x)r)e^-2x 
Como f(x)=x^2, f'(x)=2x e f''(x)=2. Substituindo na equação deixa-se todo termo em fator de e^-2x e obtém-se
y'' + 4y' + 4y = 2A e^-2x
Igualando a 3e^-2x vem
2A = 3 ,Rightarrow, A = 32

Passo 5

Reunindo as soluções homogênea e particular, a solução geral é
y(x) = C1 e^-2x + C2 x e^-2x + 32 x^2 e^-2x

Resposta

y(x) = C_1 e^{-2x} + C_2 x e^{-2x} + \tfrac32 x^2 e^{-2x}

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