Nos problemas 17 a 30, encontre solução geral para equação diferencial usando algum método estudado em sala.
y^prime prime-2 y^prime+y=e^-x1+x^2

Passo 1

A equação dada é uma EDO linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes:
Temos
y'' - 2y' + y = e^-x1 + x^2
O conteúdo aqui é equação diferencial linear e vamos precisar achar primeiro a solução da homogênea e depois uma solução particular usando variação de parâmetros.

Passo 2

Para encontrar a solução da parte homogênea, montamos a equação característica associada:
r^2 - 2r + 1 = 0
Isso fatoriza como (r - 1)^2 = 0, ou seja, raiz dupla r = 1. Logo, a solução homogênea é
yh(x) = C1 e^x + C2 x e^x

Passo 3

Agora definimos as duas soluções fundamentais
y1(x) = e^x,
y2(x) = x e^x
e calculamos o wronskiano:
W(x) = y1 & y2 y1' & y2' = e^x & x e^x e^x & (x+1)e^x = e^2x

Passo 4

Para usar variação de parâmetros, usamos a fórmula
yp = -y1(x)integral y2(x),f(x)W(x),dx + y2(x)integral y1(x),f(x)W(x),dx
onde f(x)=e^-x1+x^2.

Passo 5

Substituindo y1,y2,W e f na fórmula, obtemos
yp(x) = -e^xintegral x e^xcdot e^-xe^2x(1+x^2),dx + x e^xintegral e^xcdot e^-xe^2x(1+x^2),dx
Simplificando os integrandos:
x e^x e^-xe^2x(1+x^2) = x e^-2x1+x^2,
e^x e^-xe^2x(1+x^2) = e^-2x1+x^2
Logo,
yp(x) = -e^xintegral x e^-2x1+x^2,dx + x e^xintegral e^-2x1+x^2,dx

Passo 6

Juntando a parte homogênea e a particular, a solução geral fica
y(x) = C1 e^x + C2 x e^x - e^xintegral x e^-2x1+x^2,dx + x e^xintegral e^-2x1+x^2,dx

Resposta

y(x) = C1 e^x + C2 x e^x - e^xintegral x e^-2x1+x^2,dx + x e^xintegral e^-2x1+x^2,dx.

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