Um quilograma de gelo é removido de um congelador a -15^{\circ} \mathrm{C} e aquegdo, até converter-se totalmente em vapor, a 100^{\circ} \mathrm{C}. O calor especifico do gelo é de 0,5 \mathrm{cal} / g^{\circ} \mathrm{C}, o calor latente de fusāo do gelo é de 79 , 6 \mathrm{cal} / \mathrm{g}, e o calor latente de vaporizaçāo é de 540 \mathrm{cal} / \mathrm{g}. Qual a variaçāo de entropia total dessa substância?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (peguei todos estes valores do enunciado):
  • Massa: \,m=1{,}0\\ \mathrm{kg}=1000\\ \mathrm{g}.
  • Temperatura inicial do gelo: \,T_{1}=-15^{\circ}\mathrm{C}.
  • Temperatura de fusão: \,T_{m}=0^{\circ}\mathrm{C}.
  • Temperatura de ebulição (e vapor final): \,T_{b}=100^{\circ}\mathrm{C}.
  • Calor específico do gelo: \,c_{\text{gelo}}=0{,}5\\ \mathrm{cal}\,/\mathrm{g}^{\circ}\mathrm{C}.
  • Calor latente de fusão: \,L_{\text{fus}}=79{,}6\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}.
  • Calor latente de vaporização: \,L_{\text{vap}}=540\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}.
O que o problema pede: a variação de entropia total da substância ao ser levada de gelo a -15^{\circ}\mathrm{C} até vapor a 100^{\circ}\mathrm{C}.
Observação importante (não dada no enunciado): vou assumir o calor específico da água líquida como \,c_{\ell}=1{,}0\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}^{\circ}\mathrm{C} (valor padrão e usualmente usado). Se o professor exigisse outro valor, trocaríamos esse número.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aulas rápidas, sem pânico):
  • A variação de entropia em um processo reversível é \,dS=\dfrac{dQ_{\text{rev}}}{T}.
  • Para aquecimento a pressão constante com calor específico constante, o calor reversível trocado é dQ_{\text{rev}}=m\,c\,dT. Integrando,
\Delta S_{\text{aquec}}= \int_{T_i}^{T_f}\frac{m\,c\,dT}{T}= m\,c\,\ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right),
onde T aqui deve ser em Kelvin.
  • Para uma mudança de fase a temperatura constante (fusāo ou vaporização), o calor trocado reversível é Q_{\text{rev}}=m\,L, logo
\Delta S_{\text{fase}}=\frac{m\,L}{T_{\text{fase}}}.
Resumo: a entropia total será soma das entropias de cada etapa (aquecimento do gelo, fusão, aquecimento da água líquida, vaporização).
Também convertemos temperaturas Celsius → Kelvin:
T\;(\mathrm{K}) = T\;({}^{\circ}\mathrm{C}) + 273{,}15.
Usaremos:
T_1=-15^{\circ}\mathrm{C}\Rightarrow T_1=258{,}15\\ \mathrm{K}, \qquad T_m=0^{\circ}\mathrm{C}\Rightarrow T_m=273{,}15\\ \mathrm{K}, \qquad T_b=100^{\circ}\mathrm{C}\Rightarrow T_b=373{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 3

Escrevo a expressão da variação total de entropia como soma das quatro contribuições:
\Delta S_{\text{total}} = \Delta S_1 + \Delta S_2 + \Delta S_3 + \Delta S_4,
onde
\Delta S_1 = m\,c_{\text{gelo}} \ln\!\left(\frac{T_m}{T_1}\right) \quad\text{(aquecimento do gelo de \(-15^{\circ}\mathrm{C}\) a \(0^{\circ}\mathrm{C}\))},
\Delta S_2 = \frac{m\,L_{\text{fus}}}{T_m} \quad\text{(fusāo a \(0^{\circ}\mathrm{C}\))},ā
\Delta S_3 = m\,c_{\ell}\ln\!\left(\frac{T_b}{T_m}\right) \quad\text{(aquecimento da água líquida de \(0^{\circ}\mathrm{C}\) a \(100^{\circ}\mathrm{C}\))},áí
\Delta S_4 = \frac{m\,L_{\text{vap}}}{T_b} \quad\text{(vaporização a \(100^{\circ}\mathrm{C}\))}.çã

Passo 4

Agora calculamos cada parcela numericamente (vou mostrar contas de forma que dê para fazer à mão):
Dados em unidades por grama e temperaturas em Kelvin:
m=1000\\ \mathrm{g},\quad c_{\text{gelo}}=0{,}5,\quad c_{\ell}=1{,}0,\quad L_{\text{fus}}=79{,}6,\quad L_{\text{vap}}=540.
  1. Aquecimento do gelo:
\Delta S_1 = 1000\cdot 0{,}5\cdot \ln\!\left(\frac{273{,}15}{258{,}15}\right).
Calcule a razão \dfrac{273{,}15}{258{,}15}\approx 1{,}058. Então
\ln\!\left(\frac{273{,}15}{258{,}15}\right)\approx 0{,}0565.
Logo
\Delta S_1 \approx 1000\cdot 0{,}5\cdot 0{,}0565 \approx 28{,}3\\ \mathrm{cal/K}.
  1. Fusão a 0^{\circ}\mathrm{C}:
\Delta S_2 = \frac{1000\cdot 79{,}6}{273{,}15}.
Calcule
\Delta S_2 \approx \frac{79\,600}{273{,}15}\approx 291{,}5\\ \mathrm{cal/K}.
  1. Aquecimento da água líquida:
\Delta S_3 = 1000\cdot 1{,}0\cdot \ln\!\left(\frac{373{,}15}{273{,}15}\right).
A razão é \dfrac{373{,}15}{273{,}15}\approx 1{,}3663 e
\ln\!\left(\frac{373{,}15}{273{,}15}\right)\approx 0{,}3124.
Logo
\Delta S_3 \approx 1000\cdot 0{,}3124 \approx 312{,}4\\ \mathrm{cal/K}.
  1. Vaporização a 100^{\circ}\mathrm{C}:
\Delta S_4 = \frac{1000\cdot 540}{373{,}15}.
Calcule
\Delta S_4 \approx \frac{540\,000}{373{,}15}\approx 1447{,}1\\ \mathrm{cal/K}.
Agora somo todas as parcelas:
\Delta S_{\text{total}} \approx 28{,}3 + 291{,}5 + 312{,}4 + 1447{,}1 \approx 2079{,}3\\ \mathrm{cal/K}.
(Arredondando com um algarismo significativo coerente, fica cerca de 2{,}08\times10^{3}\\ \mathrm{cal/K}.)
Se quiser em unidades SI: 1\\ \mathrm{cal}=4{,}184\\ \mathrm{J}, então
\Delta S_{\text{total}}\approx 2079{,}3\cdot 4{,}184 \approx 8{,}70\times10^{3}\\ \mathrm{J/K}.
Comentário final curto e amigo: a variação de entropia é positiva (faz sentido: ao aquecer e vaporizar a substância a entropia aumenta). Vai dar bem na prova — respira, checa as contas e lembra de converter temperaturas para Kelvin!

Resposta

\displaystyle \Delta S_{\text{total}}\approx 2,08\times 10^{3}\\ \mathrm{cal\cdot K^{-1}}
\displaystyle \Delta S_{\text{total}}\approx 8,70\times 10^{3}\\ \mathrm{J\cdot K^{-1}}

Exercícios relacionados