Mostre que não existe nenhuma função diferenciável f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} cujo gradiente é dado por: \nabla f(x, y)=\left(x^{2} y, y^{2}\right), \forall(x, y) \in \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existe função diferenciável f\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R} tal que
\nabla f(x,y)=\bigl(x^2y,\;y^2\bigr).
O conteúdo usado será o critério de campo conservativo (ou condição de existência de potencial): se \nabla f=(P,Q) existe em aberto convexo e f é C^1, então \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x.

Passo 2

Definimos o campo vetorial
P(x,y)=x^2y, \quad Q(x,y)=y^2.
Se existisse f com \nabla f=(P,Q), deveríamos ter a igualdade das derivadas mistas de f.

Passo 3

Calculamos a derivada parcial de P em relação a y:
\frac{\partial P}{\partial y}(x,y) =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^2y\bigr) =x^2.

Passo 4

Calculamos a derivada parcial de Q em relação a x:
\frac{\partial Q}{\partial x}(x,y) =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y^2\bigr) =0.

Passo 5

Como x^2\neq0 para x\neq0, temos
\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)\neq\frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)
em quase todo \mathbb{R}^2. Isso contradiz o teorema de Schwarz (condição necessária para existência de potencial). Portanto o campo (P,Q) não é conservativo.

Resposta

Não existe função diferenciável f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} com \nabla f(x,y)=(x^2y,\;y^2), pois \partial P/\partial y\neq\partial Q/\partial x.

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