Mostre que não existe nenhuma função diferenciável
cujo gradiente é dado por:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que não existe função diferenciável
tal que
O conteúdo usado será o critério de campo conservativo (ou condição de existência de potencial): se
existe em aberto convexo e
é
, então
.
Passo 2
Definimos o campo vetorial
Se existisse
com
, deveríamos ter a igualdade das derivadas mistas de
.
Passo 3
Calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Como
para
, temos
em quase todo
. Isso contradiz o teorema de Schwarz (condição necessária para existência de potencial). Portanto o campo
não é conservativo.
Resposta
Não existe função diferenciável
com
, pois
.