Para a função , determine o domínio, imagem, raiz, intercepto no eixo y e esboce o gráfico da função. Quando está arbitrariamente próximo de , qual o comportamento da função ? Quando é arbitrariamente grande (positivo ou negativo em modulo ( )), qual o comportamento da função
Passo 1
O enunciado pede análise completa da função
ou seja, determinar domínio, imagem (alcance), raízes (zeros), intercepto no eixo , esboçar o gráfico e estudar o comportamento de quando e quando . Para isso vamos usar propriedades de valor absoluto, limites e assimptotas.
Passo 2
Domínio: a expressão só é inválida quando o denominador é zero, isto é, .
Portanto
Passo 3
Intercepto no eixo : basta ,
A função não tem raiz real porque resolver daria
impossível, já que o lado esquerdo é . Logo não há zeros.
Passo 4
Imagem: note que podemos escrever
e atinge 0 quando 3x-7=0iff x=tfrac73. Assim
g(x)=|3x-7||x-5|+2>=0+2=2
e vale 2 em x=tfrac73. Não há teto superior (a fração explode em x=5). Portanto
Im(g)=[2,infty)
Passo 5
Comportamento em xto5: ao aproximar-se de 5 pelo lado direito ou esquerdo, l|3+tfrac8x-5r|toinfty, logo
g(x)to+infty
Há assimptota vertical em x=5.
Passo 6
Comportamento em xtopminfty: como
3+8x-5longrightarrow3,
temos
g(x)longrightarrow3+2=5
Há assimptota horizontal y=5.
Passo 7
Esboço do gráfico (descrito):
O ramo à direita de x=5 é dado por g(x)=5+8x-5, x>5, decresce de +infty em xto5^+ até 5 em xto+infty.
O ramo à esquerda de x=5 tem duas fases:
para x<tfrac73, g(x)=5+8x-5, decresce de 5 (quando xto-infty) até 2 (em x=tfrac73);
para tfrac73<x<5, g(x)=-1-8x-5, cresce de 2 (em x=tfrac73) até +infty (em xto5^-).
Passa em (0,tfrac175), tem mínimo global g(tfrac73)=2, vertical em x=5 e horizontal em y=5.
Resposta
Domínio: Rsetminus5
Imagem: [2,infty)
Raiz: não existe.
Intercepto em y: l(0,tfrac175r)
Para xto5, g(x)to+infty (assimptota vertical x=5).
Para xtopminfty, g(x)to5 (assimptota horizontal y=5).