In each of Problems 25 through 31 find an integrating factor and solve the given equation.
y d x+(2 x y-e^-27) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y,dx + l(2xy - e^-27r),dy = 0
que não é exata, pois
M(x,y)=y, N(x,y)=2xy - e^-27, partial Mpartial y=1, partial Npartial x=2yneq1
Aqui vamos usar a teoria de fatores integrantes para equações não exatas, procurando um fator integrante do tipo mu(y).

Passo 2

Calculamos
1Ml(partial Npartial x-partial Mpartial yr) =1yl(2y-1r) =2-1y,
que depende apenas de y. Logo existe um fator integrante mu(y).

Passo 3

O fator integrante mu(y) satisfaz
mu'(y)=mu(y)l(2-1yr),
isto é,
lnmu(y)=integrall(2-1yr),dy =2y-ln y +const,
podendo tomar
mu(y)=e^2yy

Passo 4

Multiplicando a equação original por mu(y) obtemos
e^2y,dx +l(2x,e^2y-e^2y-27yr),dy=0
Agora é exata, pois
tilde M(x,y)=e^2y, tilde N(x,y)=2x,e^2y-e^2y-27y, partialtilde Mpartial y=2e^2y=partialtilde Npartial x
Procuramos uma função potencial psi(x,y) tal que
partialpsipartial x =e^2y Longrightarrow psi(x,y)=x,e^2y+h(y)
Derivando em relação a y e igualando a tilde N,
partialpsipartial y =2x,e^2y+h'(y) =2x,e^2y-e^2y-27y,
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h'(y)=-e^2y-27y =-e^-27,e^2yy
Integramos em y usando a função integral exponencial Ei(t)=integral-infty^te^uu,du:
h(y)=-e^-27integrale^2yy,dy =-e^-27,Ei(2y)
Assim
psi(x,y) =x,e^2y-e^-27,Ei(2y) =const

Resposta

A solução geral está dada implicitamente por
x,e^2y-e^-27,Ei(2y)=C,
onde C é constante e Ei(2y) é a integral exponencial.

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